حل مسألة العمل المشترك: الزمن الكلي

أ, ب, ج يستطيعون إكمال قطعة عمل في 25، 5، 10 أيام على التوالي. عند العمل معًا، كم يحتاجون لإكمال نفس العمل؟

لنحسب معدل الإنجاز اليومي لكل من أ, ب, ج. يمكننا استخدام معادلة العلاقة بين الوقت والعمل، حيث أن العمل (W) يتناسب طردياً مع الزمن (T)، أي:

$W \propto \frac{1}{T}$

لنكتب معادلات لمعدلات الإنجاز:

للعامل أ: $W_A \propto \frac{1}{25}$
للعامل ب: $W_B \propto \frac{1}{5}$
للعامل ج: $W_C \propto \frac{1}{10}$

الآن، لنجد معدل الإنجاز الكلي عند العمل معًا. إذاً:

$W_{\text{total}} = W_A + W_B + W_C$

$W_{\text{total}} \propto \frac{1}{25} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$

$W_{\text{total}} \propto \frac{2}{50} + \frac{10}{50} + \frac{5}{50}$

$W_{\text{total}} \propto \frac{17}{50}$

الآن، لنجد الوقت الذي يحتاجونه لإكمال العمل معًا. باستخدام معادلة العلاقة بين الوقت والعمل:

$W_{\text{total}} \propto \frac{1}{T_{\text{total}}}$

$T_{\text{total}} \propto \frac{1}{W_{\text{total}}}$

$T_{\text{total}} \propto \frac{1}{\frac{17}{50}}$

$T_{\text{total}} \propto \frac{50}{17}$

إذاً، يحتاجون معًا لحوالي $2.94$ أيام لإكمال العمل.

بالطبع، دعونا نوسع على الحل ونستخدم القوانين المستخدمة. لنحل هذه المسألة، سنستخدم قانون العمل المتناسب.

القانون المستخدم:
$\text{العمل} \propto \frac{1}{\text{الزمن}}$

المعادلة العامة للقانون:
$W = k \times \frac{1}{T}$

حيث:

• $W$ هو العمل المنجز.
• $T$ هو الزمن المستغرق.
• $k$ هو ثابت النسبية.

القانون يقول إن العمل يكون متناسبًا عكسيًا مع الزمن. لدينا ثلاثة أفراد يعملون معًا، لذا يمكننا كتابة معادلة لمعدل العمل الكلي:

$W_{\text{total}} = k \times \left(\frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B} + \frac{1}{T_C}\right)$

حيث:

• $T_A$، $T_B$، و $T_C$ هي أزمنة العمل لكل فرد على التوالي.

لحساب هذا، نجمع الكسور العكسية لمعدلات العمل الفردية:

$\frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B} + \frac{1}{T_C}$

نعرف أن $W_{\text{total}}$ يتناسب عكسيًا مع الزمن، لذا:

$W_{\text{total}} \propto \frac{1}{T_{\text{total}}}$

وباستخدام القانون العام، يمكننا كتابة:

$W_{\text{total}} = k \times \frac{1}{T_{\text{total}}}$

الآن، نقارن الطرفين:

$k \times \left(\frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B} + \frac{1}{T_C}\right) = k \times \frac{1}{T_{\text{total}}}$

نلاحظ أن $k$ يمكن أن يلغى من الطرفين.

$\frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B} + \frac{1}{T_C} = \frac{1}{T_{\text{total}}}$

الآن، نستخدم القوانين الرياضية لحل المعادلة بالنسبة لـ $T_{\text{total}}$:

$\frac{1}{T_{\text{total}}} = \frac{1}{25} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$

نجمع الكسور:

$\frac{1}{T_{\text{total}}} = \frac{2}{50} + \frac{10}{50} + \frac{5}{50}$

$\frac{1}{T_{\text{total}}} = \frac{17}{50}$

الآن، نأخذ النقل العكسي:

$T_{\text{total}} = \frac{50}{17}$

إذاً، يحتاجون معًا لحوالي $2.94$ يوم لإكمال العمل.