حل مسألة العملية الرياضية Y (مسألة رياضيات)

إذا كان $a \text{ Y } b$ معرفًا كما يلي: $a \text{ Y } b = a^2 – 2ab + b^2$، فما هو قيمة $X \text{ Y } 2$؟ وإذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 1، فما قيمة المتغير X؟

لنقم بحساب $X \text{ Y } 2$ بواسطة التعريف المعطى:
$X \text{ Y } 2 = X^2 – 2(X)(2) + 2^2$

ولكننا نعلم أن قيمة هذا التعبير تساوي 1، إذاً:
$X^2 – 4X + 4 = 1$

لنقم بترتيب المعادلة لنجد حلولها:
$X^2 – 4X + 4 – 1 = 0$
$X^2 – 4X + 3 = 0$

الآن، نحتاج إلى حساب القيم الممكنة للمتغير X باستخدام العلاقة التالية: $X = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$ حيث $a = 1$، $b = -4$، و $c = 3$.

نستخدم العلاقة للحصول على قيم X:
$X = \frac{{-(-4) \pm \sqrt{{(-4)^2 – 4(1)(3)}}}}{{2(1)}}$
$X = \frac{{4 \pm \sqrt{{16 – 12}}}}{{2}}$
$X = \frac{{4 \pm \sqrt{4}}}{{2}}$
$X = \frac{{4 \pm 2}}{{2}}$

هناك حلان ممكنان:

1. عندما نأخذ الجذر الموجب:
   $X_1 = \frac{{4 + 2}}{{2}} = \frac{{6}}{{2}} = 3$
2. عندما نأخذ الجذر السالب:
   $X_2 = \frac{{4 – 2}}{{2}} = \frac{{2}}{{2}} = 1$

لذا، قيم المتغير X يمكن أن تكون إما 3 أو 1.

في هذه المسألة، نواجه تعريفًا جديدًا للعملية الرياضية حيث تُعرف $a \text{ Y } b$ على أنها $a \text{ Y } b = a^2 – 2ab + b^2$. يطلب منا حساب قيمة $X \text{ Y } 2$ ومن ثم تحديد قيمة المتغير X عندما يكون ناتج العملية هو 1.

لحل المسألة، نستخدم القوانين الأساسية في الجبر والحساب:

1. تعريف العملية (العلاقة المعطاة): العلاقة المعطاة هي $a \text{ Y } b = a^2 – 2ab + b^2$. هذا يعني أنه عندما نقوم بعملية “Y” بين اثنين من الأعداد، نقوم برفع كل عدد إلى السلطة الثانية ونضرب الناتجين في بعضهما البعض مرتين.

2. حساب العملية: نقوم بتطبيق التعريف المعطى للعملية “Y” بين $X$ و $2$، مما يعني أننا نقوم بحساب $X^2 – 2(X)(2) + 2^2$.

3. حل المعادلة: وبما أننا نعلم أن ناتج العملية $X \text{ Y } 2$ هو 1، فإننا نضع هذا المعلومة في المعادلة $X^2 – 4X + 4 = 1$.

4. استخدام القوانين الجبرية: نقوم بترتيب المعادلة وحلها باستخدام القوانين الجبرية المعروفة مثل قاعدة حل المعادلات من الدرجة الثانية.

5. حساب القيم الممكنة للمتغير: باستخدام الصيغة العامة لحساب الجذور في المعادلة من الدرجة الثانية، نحصل على القيم الممكنة للمتغير $X$.

6. التحقق من الحلول: نتأكد من الحلول المُستخرجة عن طريق وضعها في المعادلة الأصلية والتأكد من أن الناتج يساوي 1.

باستخدام هذه القوانين والخطوات، نستطيع حل المسألة وتحديد القيم الممكنة للمتغير X.