حل مسألة العدم المطلق في الجبر (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المعطاة:

ما هو أصغر قيمة صحيحة لـ $x$ التي ترضي العدم المساواة $|2x + 7| \leq 16$؟

حل المسألة:

نبدأ بحل العدم المساواة $|2x + 7| \leq 16$.

عندما نقوم بفتح القيمتين المطلقتين، نحصل على اثنين من العدم المتساويات:

1. $2x + 7 \leq 16$
2. $-(2x + 7) \leq 16$

لنقم بحل كل منهما بشكل منفصل:

1. لأول حالة، نقوم بطرح 7 من كل جانب من العدم المتساوي:
   $2x \leq 16 – 7$
   $2x \leq 9$
   ثم نقسم كل جانب على 2:
   $x \leq \frac{9}{2}$

2. لثاني حالة، نقوم بضرب المعادلة بـ $-1$ للتخلص من السالبية:
   $-2x – 7 \leq 16$
   ثم نقوم بإضافة 7 إلى كلا الجانبين:
   $-2x \leq 16 + 7$
   $-2x \leq 23$
   ثم نقسم كلا الجانبين على -2، لكن نحتفظ بعلامة الناتج نظرًا لأننا قمنا بضرب في $-1$:
   $x \geq -\frac{23}{2}$

إذاً، نعرف الآن أن الحل النهائي للعدم المساواة هو:
$-\frac{23}{2} \leq x \leq \frac{9}{2}$

الآن، نبحث عن أصغر قيمة صحيحة لـ $x$ داخل هذا النطاق. القيمة الأصغر ستكون على الأرجح العدد الصحيح الأقرب لـ $-\frac{23}{2}$، الذي هو $-11$، لأنه يعطي القيمة الأصغر داخل النطاق المحدد.

لذا، الحل للمسألة هو $x = -11$.

بالطبع، دعنا نوضح المسألة بتفاصيل أكثر ونستعرض القوانين والخطوات التي تم اتباعها في الحل.

المسألة تتطلب إيجاد أصغر قيمة صحيحة لـ $x$ التي تلبي العدم المساواة $|2x + 7| \leq 16$.

لحل هذه المسألة، نستخدم القوانين الأساسية في الجبر والعدم المطلق:

1. قانون مطلق القيمة: يقول أن $|a| \leq b$ يعني أن قيمة $a$ تقع داخل نطاق $-b$ إلى $b$، بمعنى آخر، $-b \leq a \leq b$.

الآن، نبدأ بحل المعادلة:

1. نقوم بفتح العدم المطلق $|2x + 7| \leq 16$ إلى اثنين من العدم المساواة:

   • $2x + 7 \leq 16$
   • $-(2x + 7) \leq 16$

2. لنحل العدم المساواة الأولى: $2x + 7 \leq 16$

   • نطرح 7 من كلا الجانبين للعدم المساواة:
     $2x \leq 16 – 7$
     $2x \leq 9$
   • نقسم كلا الجانبين على 2:
     $x \leq \frac{9}{2}$

3. لنحل العدم المساواة الثانية: $-(2x + 7) \leq 16$

   • نضرب المعادلة بـ $-1$ للتخلص من السالبية:
     $-2x – 7 \leq 16$
   • نضيف 7 إلى كلا الجانبين:
     $-2x \leq 16 + 7$
     $-2x \leq 23$
   • نقسم كلا الجانبين على $-2$، لكن نحتفظ بعلامة الناتج نظرًا لأننا قمنا بضرب في $-1$:
     $x \geq -\frac{23}{2}$

4. بجمع الحلول لكل من العدمين المساويين، نحصل على النطاق النهائي للحلول:
   $-\frac{23}{2} \leq x \leq \frac{9}{2}$

5. أصغر قيمة صحيحة داخل هذا النطاق هي القيمة الموجبة الأقرب إلى $-\frac{23}{2}$، والتي هي $-11$.

لذا، الحل للمسألة هو $x = -11$.

هذه الخطوات تعتمد على قوانين الجبر الأساسية والتي تستخدم في حل مثل هذه المسائل الرياضية.