حل مسألة العدد المتساوي موديولو 5 (مسألة رياضيات)

المطلوب هو إيجاد العدد الصحيح $n$ الذي يكون بين 4 و 8 (شاملاً)، والذي يرضي المتساويه التالية:
$n \equiv 7882 \pmod{5}$

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام فكرة التردي الحسابي لإيجاد القيمة المناسبة لـ $n$.

أولاً، نقوم بحساب باقي القسمة على 5 للعدد 7882. نقوم بالقسمة:

$7882 \div 5 = 1576$

الباقي هو 2، وبالتالي:

$7882 \equiv 2 \pmod{5}$

الآن، نحتاج إلى البحث عن العدد $n$ الذي يقع ضمن النطاق المحدد ويكون له نفس الباقي عند القسمة على 5. النطاق المحدد هو من 4 إلى 8.

لذا، نقوم بفحص كل عدد في هذا النطاق لنرى أي منها يعطي نفس الباقي 2 عند القسمة على 5.

• لـ $n = 4$: $4 \div 5 = 0$ باقي 4.
• لـ $n = 5$: $5 \div 5 = 1$ باقي 0.
• لـ $n = 6$: $6 \div 5 = 1$ باقي 1.
• لـ $n = 7$: $7 \div 5 = 1$ باقي 2.
• لـ $n = 8$: $8 \div 5 = 1$ باقي 3.

نجد أن القيمة التي ترضي الشرط هي $n = 7$، حيث أن باقي قسمة 7 على 5 يساوي 2.

إذاً، القيمة الصحيحة لـ $n$ هي 7، وهي القيمة التي تحقق المتساوية المعطاة.

لحل المسألة وإيجاد القيمة الصحيحة لـ $n$ التي ترضي المتساوية $n \equiv 7882 \pmod{5}$، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الحساب المودولاري.

1. المتساويات المودولارية:
   في الحساب المودولاري، عندما نقول $a \equiv b \pmod{m}$، فإننا نعني أن الفرق بين $a$ و $b$ قابل للقسمة على $m$ بدون باقي. بمعنى آخر، $a$ و $b$ يتشابهان في الباقي عند القسمة على $m$.

2. قسمة عددين:
   نستخدم القسمة لتقسيم عددين واستخراج الباقي. عندما نقسم عددًا على آخر، فإن الناتج هو القسمة، والباقي هو ما تبقى بعد القسمة.

3. قاعدة التردي الحسابي:
   تقول إنه يمكننا تغيير ترتيب العمليات الحسابية في الحساب المودولاري دون تغيير النتيجة. هذا يعني أنه يمكننا إجراء العمليات الحسابية على الأعداد المتساوية بالمودولو بأي ترتيب.

الآن، بناءً على هذه المفاهيم، نحل المسألة:

1. نستخدم القسمة لحساب الباقي عند قسمة 7882 على 5:
   $7882 \div 5 = 1576$
   باقي 2.

2. الآن، نحتاج إلى العثور على عدد يتوافق مع الباقي هذا ويندرج ضمن النطاق المطلوب (بين 4 و 8).

3. نبدأ باختبار كل عدد في هذا النطاق:

   • لـ $n = 4$، الباقي 4.
   • لـ $n = 5$، الباقي 0.
   • لـ $n = 6$، الباقي 1.
   • لـ $n = 7$، الباقي 2.
   • لـ $n = 8$، الباقي 3.

4. يتماشى العدد $n = 7$ مع المتساوية المودولارية المعطاة، حيث أن الباقي عند قسمة 7 على 5 هو 2.

لذا، القانون المستخدم هو قانون المتساويات المودولارية وقاعدة التردي الحسابي. من خلال استخدام هذه القوانين، تم تحديد القيمة الصحيحة لـ $n$ وهي 7.