حل مسألة العبارات الثنائية في الجبر (مسألة رياضيات)

لنفترض أن $a$، $b$، و $c$ عبارة عن أعداد صحيحة تتوافق مع الشروط التالية:

معاملات المتغير $x$ في العبارات الرباعية $x^2+ax+b$ و $x^2+bx+c$ تمثل الأعداد $a$، $b$، و $c$ على التوالي.
أعلى مشترك لعبارتي $x^2+ax+b$ و $x^2+bx+c$ يساوي $x+1$.
أقل مضاعف مشترك لعبارتي $x^2+ax+b$ و $x^2+bx+c$ يساوي $x^3-4x^2+x+6$.

الآن، للعثور على $a$، $b$، و $c$، دعنا نبدأ بحل المعادلات.

المعادلة $(x+1)$ تظهر كأعلى مشترك لـ $(x^2+ax+b)$ و $(x^2+bx+c)$.

وبما أن $(x+1)$ هو العامل المشترك، فإننا نستطيع تحليل العبارتين كالتالي:

$x^2 + ax + b = (x + 1)(x + \alpha)$
$x^2 + bx + c = (x + 1)(x + \beta)$

حيث $\alpha$ و $\beta$ هما الجذور الأخرى لكل عبارة على التوالي.

إذاً، من المعادلات أعلاه، نحصل على العلاقات التالية:

$a = \alpha + 1$
$b = \beta + 1$
$c = \alpha \beta$

الآن، نحن بحاجة لحساب قيم $\alpha$ و $\beta$.

نلاحظ أن المعادلة $(x^3-4x^2+x+6)$ يمكن أن تُكتب على النحو التالي:

$x^3 – 4x^2 + x + 6 = (x+1)(x^2 – 5x + 6)$

بما أن هذا هو أقل مضاعف مشترك، يجب أن تكون العبارات الرباعية الأصلية قابلة للتقسيم على $(x^2 – 5x + 6)$.

من المعادلات الأصلية، يمكننا كتابة:

$x^2 + ax + b = (x+1)(x+\alpha) = (x+1)(x-(\alpha+1))$
$x^2 + bx + c = (x+1)(x+\beta) = (x+1)(x-(\beta+1))$

الآن، بما أن العبارتين الأصليتين يمكن أن تقسمان على $(x^2 – 5x + 6)$، فإننا نحصل على المعادلات التالية:

$(x^2 + ax + b) / (x^2 – 5x + 6) = (x+1)(x-(\alpha+1)) / (x^2 – 5x + 6)$
$(x^2 + bx + c) / (x^2 – 5x + 6) = (x+1)(x-(\beta+1)) / (x^2 – 5x + 6)$

ومن هذه المعادلات، نحصل على العلاقات التالية:

$a = \alpha – 4$
$b = \beta – 4$
$c = 6$

الآن، نحن بحاجة إلى حل هذه العلاقات. لدينا:

$\alpha – 4 = \alpha + 1 \implies \alpha = 5$
$\beta – 4 = \beta + 1 \implies \beta = 3$

وبالتالي:

$a = 5 – 4 = 1$
$b = 3 – 4 = -1$
$c = 6$

وبالتالي، $a + b + c = 1 – 1 + 6 = 6$.

لحل المسألة المعطاة، نحن بحاجة إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر ونظرية الأعداد. سنقوم بتحليل الشروط المعطاة في المسألة واستخدام العلاقات الجبرية لإيجاد قيم $a$، $b$، و $c$.

القوانين والمفاهيم التي سنستخدمها:

1. قاعدة القسمة الصغرى (Laws of Divisibility): هذه القاعدة تساعدنا في فهم كيفية علاقة الأعداد والعوامل المشتركة بينها.

2. قاعدة التقسيم (Division Algorithm): هذه القاعدة تسمح لنا بتقسيم عبارات الدرجة الثانية على عوامل درجة أقل.

3. خوارزمية أواخر جيل (Euclidean Algorithm): هذه الخوارزمية تساعدنا في حساب أعلى مشترك وأقل مضاعف مشترك لمجموعة من الأعداد.

الآن دعونا نبدأ في حل المسألة:

1. معرفة العلاقة بين العبارتين:
   نحن نعلم أن الأعبارتين $x^2+ax+b$ و $x^2+bx+c$ لهما أعلى مشترك يساوي $x+1$ وأقل مضاعف مشترك يساوي $x^3-4x^2+x+6$.

2. التعبير عن العبارات في شكل عام:
   نفترض أن العبارات الثنائية تكون على الشكل التالي:
   $x^2 + ax + b = (x+1)(x+\alpha)$
   $x^2 + bx + c = (x+1)(x+\beta)$

   حيث $\alpha$ و $\beta$ هما الجذور الأخرى للعبارات.

3. العثور على العلاقات بين $a$، $b$، و $c$:
   من العلاقات السابقة، نعرف أن:
   $a = \alpha + 1$
   $b = \beta + 1$
   $c = \alpha \beta$

4. تحديد قيم $\alpha$ و $\beta$:
   نستخدم قاعدة القسمة الصغرى لفهم العلاقة بين العبارات والعوامل.
   من المعادلة المعطاة، نجد أن:
   $x^3 – 4x^2 + x + 6 = (x+1)(x^2 – 5x + 6)$
   وبالتالي:
   $\alpha – 4 = \alpha + 1 \implies \alpha = 5$
   $\beta – 4 = \beta + 1 \implies \beta = 3$

5. حساب $a$، $b$، و $c$:
   بواسطة العلاقات التي وجدناها، نحصل على:
   $a = 5 – 4 = 1$
   $b = 3 – 4 = -1$
   $c = 6$

6. الحساب النهائي:
   نجمع $a$، $b$، و $c$ للحصول على الإجابة النهائية:
   $a + b + c = 1 – 1 + 6 = 6$

هذا هو الحل الشامل للمسألة المعطاة باستخدام القوانين والمفاهيم المذكورة أعلاه في الجبر ونظرية الأعداد.