حل مسألة: العامل المشترك الأقل وأعداد مضاعفة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تطلب منا إيجاد أكبر قيمة ممكنة لـ $x$ إذا كان العامل المشترك الأقل بين $x$، $10$، و $14$ يساوي $70$.

العامل المشترك الأقل بين عددين هو العدد الأصغر الذي يمكن أن يقسم كل منهما بدون باقي. وبما أننا نعرف أن العامل المشترك الأقل بين $x$، $10$، و $14$ هو $70$، فإننا نعرف أن $x$ يجب أن يكون مضاعفًا لـ $70$، لأن $10$ و $14$ يتضمنان بالفعل $70$ كعامل مشترك.

لنحل المسألة، نبدأ بفحص عدد $70$ ونبحث عن الأعداد التي تحتوي عليه كعامل. وهذه الأعداد هي مضاعفات $70$. لذا، نحن بحاجة إلى إيجاد أكبر قيمة ممكنة لـ $x$ بناءً على هذا الاعتبار.

العدد $70$ يقسم $70 \times 1$، $70 \times 2$، $70 \times 3$، وهكذا. ولكننا نبحث عن أكبر قيمة ممكنة لـ $x$، لذا سنقوم بتجريب الأعداد بدءًا من الأكبر إلى الأصغر.

نبدأ بالبحث:

إذا اخترنا $x = 70 \times 1$، فسيكون العامل المشترك الأقل بين $x$، $10$، و $14$ هو $70 \times 1$ وهو مطابق للشرط.

إذا اخترنا $x = 70 \times 2$، فسيكون العامل المشترك الأقل بين $x$، $10$، و $14$ هو $70 \times 2$ وهو مطابق للشرط.

إذا اخترنا $x = 70 \times 3$، فسيكون العامل المشترك الأقل بين $x$، $10$، و $14$ هو $70 \times 3$ وهو مطابق للشرط.

إذا اخترنا $x = 70 \times 4$، فسيكون العامل المشترك الأقل بين $x$، $10$، و $14$ هو $70 \times 4$ وهو مطابق للشرط.

وهكذا، يمكننا أن نلاحظ أن أكبر قيمة ممكنة لـ $x$ هي $70 \times 4 = 280$.

إذاً، القيمة القصوى لـ $x$ هي $280$.

لحل هذه المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، نحتاج أولاً إلى فهم مفهوم العامل المشترك الأقل (LCM) وكيفية حسابه. ثم نستخدم هذا المفهوم لحل المسألة.

1. العامل المشترك الأقل (LCM): هو العدد الأصغر الذي يمكن أن يقسم عددين أو أكثر بدون باقي. يمكن حساب LCM باستخدام عدة طرق، منها تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية واستخدامها لحساب LCM.

2. قانون LCM والأعداد الأولية: يقول القانون إن LCM لمجموعة من الأعداد يتضمن أكبر ضرب مشترك لجميع الأعداد الأولية الموجودة في هذه الأعداد.

الآن، لنحل المسألة:

المسألة تطلب إيجاد أكبر قيمة ممكنة لـ $x$، بشرط أن LCM بين $x$، $10$، و $14$ يكون $70$.

نستخدم القانون المذكور أعلاه لتحديد LCM بين $10$ و $14$، ونجد أن الأعداد الأولية لـ $10$ هي $2$ و $5$، ولـ $14$ هي $2$ و $7$. بالتالي:

$LCM(10, 14) = 2^1 \times 5^1 \times 7^1 = 70$

الآن، نحتاج إلى جعل $x$ مضاعفًا لـ $70$ بحيث يتضمن العامل $70$ في LCM مع $10$ و $14$.

إذا كان $x \times 70$ هو LCM بين $x$، $10$، و $14$، فإننا نعرف أن:

$x \times 70 = LCM(x, 10, 14)$

وبما أن $LCM(x, 10, 14) = 70 \times x$، فإننا نعرف أن $x$ يجب أن يكون عاملاً لـ $70$ ليكون LCM بين $x$، $10$، و $14$ يساوي $70$.

بمعنى آخر، نحتاج إلى معرفة أكبر عامل ممكن لـ $70$، والذي يكون $x$ في هذه المسألة.

نلاحظ أن أكبر عامل لـ $70$ هو $70 \times 4 = 280$، لأنه بعد ذلك، $x \times 70$ سيكون أكبر من $70 \times 4$ ولن يكون LCM مساوياً لـ $70$.

لذا، القيمة القصوى لـ $x$ هي $280$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون LCM والأعداد الأولية.
2. تحليل العدد إلى عوامله الأولية لحساب LCM.

وهذه هي الطريقة التفصيلية لحل المسألة.