حل مسألة: الضغط والحجم في الغازات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
“نظرًا لأن ضغط عينة الغاز يتناسب عكسيًا مع حجمها عند درجة حرارة ثابتة، لدي كمية معينة من الأكسجين في حاوية تبلغ 2.28 لتر بضغط قدره 5 كيلوباسكال. إذا قمت بنقل كل الأكسجين إلى حاوية تبلغ 5.7 لتر عند نفس درجة الحرارة، ما هو الضغط الجديد بالكيلوباسكال؟”

الحل:
العلاقة بين الضغط والحجم عند درجة حرارة ثابتة تتبع قانون بويل، الذي ينص على أن حاصل ضرب الضغط والحجم يبقى ثابتًا. يمكن التعبير عن هذه العلاقة بالصيغة التالية:

P₁V₁ = P₂V₂

حيث:
P₁ هو الضغط الأول (الأصلي)
V₁ هو الحجم الأول (الأصلي)
P₂ هو الضغط الجديد
V₂ هو الحجم الجديد

نستخدم القيم المعطاة:
P₁ = 5 kPa
V₁ = 2.28 L
V₂ = 5.7 L

نريد إيجاد P₂.

نستخدم العلاقة:
P₁V₁ = P₂V₂

نعوض القيم:
(5 kPa)(2.28 L) = P₂(5.7 L)

نحسب قيمة P₂:
P₂ = (5 kPa * 2.28 L) / 5.7 L
P₂ = (5 * 2.28) / 5.7
P₂ = 11.4 / 5.7
P₂ = 2 kPa

إذاً، الضغط الجديد في الحاوية البالغة 5.7 لتر هو 2 كيلوباسكال.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى الاعتماد على قانون بويل للغازات الذي ينص على أن ضغط الغاز متناسب عكسياً مع حجم الحاوية عند درجة حرارة ثابتة. بمعنى آخر، إذا ازداد حجم الحاوية، فإن الضغط سينخفض والعكس صحيح أيضاً.

القانون يُعبّر بالمعادلة التالية:
$P_1V_1 = P_2V_2$

حيث:

• $P_1$ و $V_1$ هما الضغط والحجم الأصليين على التوالي.
• $P_2$ و $V_2$ هما الضغط والحجم الجديدين على التوالي بعد التغيير.

الخطوات لحل المسألة:

1. تحديد القيم المعطاة:

   • $P_1 = 5$ كيلوباسكال (الضغط الأصلي)
   • $V_1 = 2.28$ لتر (الحجم الأصلي)
   • $V_2 = 5.7$ لتر (الحجم الجديد)

2. استخدام القانون لحل المسألة:
   $P_1V_1 = P_2V_2$

3. تعويض القيم المعطاة في المعادلة:
   $(5 \, \text{kPa}) \times (2.28 \, \text{L}) = P_2 \times (5.7 \, \text{L})$

4. حساب قيمة $P_2$:
   $P_2 = \frac{(5 \times 2.28)}{5.7}$

   $P_2 = \frac{11.4}{5.7} = 2 \, \text{kPa}$

5. الاستنتاج:
   الضغط الجديد في الحاوية البالغة 5.7 لتر هو 2 كيلوباسكال.

هذا الحل يعتمد على فهم علاقة الضغط والحجم في الغازات واستخدام القانون المناسب لتطبيقه في الحالة المعينة.