حل مسألة الضرب والمقارنة في الجبر (مسألة رياضيات)

إذا كان $(x + 2)(3x^2 – x + 5) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$، فما هي قيمة $A + B + C + D$؟

لنبدأ بحساب حاصل ضرب $(x + 2)(3x^2 – x + 5)$:

$(x + 2)(3x^2 – x + 5) = 3x^3 – x^2 + 5x + 6x^2 – 2x + 10$

الآن قم بتجميع الأعضاء المماثلة:

$= 3x^3 + (6x^2 – x^2) + (-2x + 5x) + 10$

$= 3x^3 + 5x^2 + 3x + 10$

المقارنة بين الناتج والمعادلة المعطاة يعطينا:

$Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 3x^3 + 5x^2 + 3x + 10$

من خلال المقارنة، يجب أن تكون الأقدام متساوية، لذلك:

$A = 3$

$B = 5$

$C = 3$

$D = 10$

الآن نجمع قيم $A + B + C + D$:

$A + B + C + D = 3 + 5 + 3 + 10 = 21$

إذاً، قيمة $A + B + C + D$ هي 21.

لحل المسألة التي تتضمن ضرب العبارات وتطابق النتائج، نحتاج إلى استخدام قوانين الجبر. القوانين التي نستخدمها تتضمن قوانين الضرب وتوزيع الضرب على الجمع.

1. قانون الضرب: عند ضرب عبارتين متعددتين، نحتاج إلى ضرب كل عنصر في العبارة الأولى بكل عنصر في العبارة الثانية وجمع المصفوفة الناتجة.

2. توزيع الضرب على الجمع: عند ضرب عبارة في مجموعة من العبارات، يجب ضرب العبارة في كل عنصر من المجموعة وجمع النتائج.

لنقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

المسألة تقول: $(x + 2)(3x^2 – x + 5) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$

نقوم بضرب العبارات:

$(x + 2)(3x^2 – x + 5) = 3x^3 – x^2 + 5x + 6x^2 – 2x + 10$

نقوم بتجميع الأعضاء المماثلة:

$= 3x^3 + (6x^2 – x^2) + (-2x + 5x) + 10$

$= 3x^3 + 5x^2 + 3x + 10$

المقارنة بين الناتج والمعادلة المعطاة يعطينا:

$Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 3x^3 + 5x^2 + 3x + 10$

من هنا، نستنتج القيم:

$A = 3$

$B = 5$

$C = 3$

$D = 10$

وبما أننا نطلب قيمة $A + B + C + D$، فإننا نقوم بالجمع:

$A + B + C + D = 3 + 5 + 3 + 10 = 21$

إذاً، قيمة $A + B + C + D$ هي 21.

باختصار، استخدمنا قوانين الجبر لحساب الناتج من ضرب العبارات ومطابقته مع المعادلة المعطاة، مما أدى إلى تحديد القيم للمعاملات المجهولة ومن ثم جمعها للحصول على الناتج النهائي.