حل مسألة الضرب للمصفوفات والمجموعات الحسابية (مسألة رياضيات)

نبدأ بحساب المنتج النهائي للمصفوفات:

لنضرب المصفوفات معًا:

نلاحظ أنه عندما نقوم بالضرب، يتم ضرب الأعمدة الأولى من كل مصفوفة بالترتيب. لذلك، نحصل على المصفوفة التالية:

من المعلوم أن المنتج النهائي يساوي:

مما يعني أن:

لحساب قيمة $X$، نحتاج إلى حساب المجموع $1+3+5+\cdots+99$. هذا يشابه متتالية الأعداد الطبيعية، والتي يمكن حساب مجموعها باستخدام الصيغة:

حيث $n$ هو عدد الأعداد في المتتالية.

في حالتنا، $n$ يمثل عدد الأعداد الفردية من 1 إلى 99، وهو 50. لذلك:

الآن، نحل المعادلة:

نقسم الطرفين على 4950:

نبسط الكسر:

يمكن تبسيط هذا الكسر إلى أبسط شكل ممكن، وهو غير قابل للتقسيم بأي عدد آخر غير الواحد. لذلك، قيمة $X$ هي:

لحل المسألة وتحديد قيمة $X$ في المصفوفة النهائية، نستخدم القواعد التالية:

1. ضرب المصفوفات:
   عند ضرب مصفوفتين $A$ و $B$، نضرب كل صف في $A$ بكل عمود في $B$ ونجمع الناتج. في المسألة، نقوم بضرب المصفوفات بالترتيب ونحسب المنتج.

2. المنتج النهائي للمصفوفات:
   بعد الضرب المتكرر للمصفوفات، نحصل على مصفوفة نهائية. هذه المصفوفة تمثل المنتج النهائي للعمليات.

3. مجموع الأعداد الطبيعية:
   لحساب مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى $n$، نستخدم الصيغة:

   $$\text{مجموع} = \frac{n(n+1)}{2}$$

باستخدام هذه القواعد، نبدأ بحساب المنتج النهائي للمصفوفات. ثم نستخدم المعطيات المعطاة في المسألة لإيجاد قيمة $X$ من خلال حل المعادلة.

المجموع الفردي للأعداد من 1 إلى 99 يتبع نمط المجموعات الحسابية، حيث يكون المجموع هو متتالية حسابية، ويمكن حسابها باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه.

بعد ذلك، نقوم بحل المعادلة التي تمثل المنتج النهائي للمصفوفات بمعرفة القيمة المعطاة للمصفوفة والتي تمثلها مصفوفة معينة، ونستخدم هذه المعلومة لحساب القيمة المطلوبة $X$.

بهذا الشكل، يتم حل المسألة باستخدام القوانين الرياضية المتعلقة بضرب المصفوفات وحساب المجموعات الحسابية.