حل مسألة الضرب في النظام الثنائي (مسألة رياضيات)

إذا كان منتج $1011_2 \times 101_2$ يُعبر عنه بقيمة 110111 في النظام الأساسي X، فما قيمة المتغير X؟

لنقم بحل المسألة:

نبدأ بضرب العددين $1011_2$ و $101_2$:

نحصل على الناتج 110111.

لنحدد قيمة المتغير X:

• الناتج المُعطى بالنظام الأساسي X هو 110111.
• للتأكد من صحة الحساب، نحتاج إلى تحويل الناتج 110111 إلى العدد العشري.
• بعد ذلك، سنقوم بتطابق الناتج مع ناتج الضرب في النظام العشري.

لتحويل 110111 إلى العدد العشري، نستخدم العلاقة التالية:
$110111_{\text{base } X} = 1 \times X^5 + 1 \times X^4 + 0 \times X^3 + 1 \times X^2 + 1 \times X^1 + 1 \times X^0$

لكي يساوي هذا العدد العشري 110111، نحتاج إلى حل المعادلة التالية:
$X^5 + X^4 + X^2 + X + 1 = 110111$

بعد حل المعادلة، سنحصل على قيمة المتغير X، والتي تُعبر عن النظام الأساسي للأعداد المعطاة في المسألة.

لنقم بحل المسألة وتوضيح القوانين المستخدمة:

المسألة تتطلب حساب المنتج لعددين في النظام الثنائي، ثم تحديد النظام الأساسي (X) الذي يُعبر عن الناتج المعطى.

الخطوات:

1. الضرب في النظام الثنائي:
   نقوم بالضرب كما نفعل في النظام العشري، ولكن مع الأرقام الثنائية 0 و 1 فقط.

2. الجمع:
   الجمع يتم كما هو معمول به في النظام الثنائي، حيث نجمع الأعداد عمودياً من اليمين إلى اليسار، مع الاهتمام بالحمل عند الحاجة.

3. تحديد قيمة X:
   يتم تحديد قيمة المتغير X بتحويل الناتج الثنائي إلى عدد عشري.

4. حل المعادلة:
   نحل المعادلة التي تُعبر عن القيمة المحسوبة في النظام الأساسي X.

5. التحقق:
   نتأكد من أن قيمة X تجعل المعادلة صحيحة، وبالتالي تتوافق مع الناتج المعطى.

القوانين المستخدمة:

• ضرب الأعداد الثنائية:
  يتم ضرب كل رقم في العدد الثنائي الأول بكل رقم في العدد الثنائي الثاني، مع احتساب المحمول إذا لزم الأمر.

• تحويل الثنائي إلى عشري:
  يتم تحويل الناتج الثنائي إلى عدد عشري باستخدام قواعد الأساس. فمثلاً، 1011 في النظام العشري يُعبر عن العدد (1 * 2^3) + (0 * 2^2) + (1 * 2^1) + (1 * 2^0) = 11 في النظام العشري.

• حل المعادلات:
  نستخدم الجبر لحل المعادلات وتحديد قيم المتغيرات. في هذه الحالة، نقوم بحل معادلة لتحديد القيمة التي تُعبر عن النظام الأساسي المطلوب.

باستخدام هذه القوانين والخطوات، يمكننا حل المسألة وتحديد القيمة المطلوبة للمتغير X.