حل مسألة الضرب النقطي والتوزيع (مسألة رياضيات)

إذا كانت $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$ و$\mathbf{c}$ هي نواتج ثلاثة متجهات بحيث يكون $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -3$ و$\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = 4$ و$\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = 6$، فلنقم بحساب
$\mathbf{b} \cdot (7 \mathbf{c} – X \mathbf{a}).$

نقوم بتوسيع هذا المنتج الداخلي للحصول على التالي:
$\mathbf{b} \cdot (7 \mathbf{c} – X \mathbf{a}) = \mathbf{b} \cdot (7 \mathbf{c}) – \mathbf{b} \cdot (X \mathbf{a}).$

نعلم أن عملية الضرب النقطي تحتفظ بالخصائص التوزيعية والتجميعية، لذلك نستطيع كتابة هذا بشكل منفصل:
$\mathbf{b} \cdot (7 \mathbf{c}) – \mathbf{b} \cdot (X \mathbf{a}) = 7 (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) – X (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}).$

الآن نستخدم القيم المعطاة في السؤال لنحسب هذا التعبير:
$7 (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) – X (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) = 7 \times 6 – X \times (-3).$

نقوم بحساب هذا الناتج للحصول على الإجابة:
$42 + 3X.$

وبما أن القيمة المعطاة هي 48، نقوم بحل المعادلة التالية للعثور على قيمة $X$:
$42 + 3X = 48.$

نقوم بطرح 42 من الجهتين للحصول على:
$3X = 6.$

ثم نقسم على 3 للحصول على القيمة النهائية:
$X = 2.$

إذا كانت الإجابة على المسألة 48، فإن القيمة المجهولة $X$ تكون تساوي 2.

لحل هذه المسألة، سنستخدم القوانين المتعلقة بعملية الضرب النقطي والتوزيع. نعلم أن عملية الضرب النقطي بين اثنين من الفضاءات الثلاثية الأبعاد $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ تعطينا مجموعة القوانين التالية:

1. توزيع الضرب على الجمع:
   $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}.$

2. التوزيع للفضاءات المتجهة:
   $(k \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}).$

3. تماثل الضرب:
   $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}.$

نبدأ بالتعبير الأصلي:
$\mathbf{b} \cdot (7 \mathbf{c} – X \mathbf{a})$

نوزع الضرب في الجمع:
$\mathbf{b} \cdot 7\mathbf{c} – \mathbf{b} \cdot X\mathbf{a}.$

نستخدم التوزيع للفضاءات المتجهة:
$7 (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) – X (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}).$

ثم نستخدم القيم المعطاة في السؤال:
$7 \times 6 – X \times (-3).$

نقوم بحساب هذا للحصول على:
$42 + 3X.$

ونعلم أن هذا الناتج يساوي 48 وفقًا للسؤال، لذا نحل المعادلة:
$42 + 3X = 48.$

نطرح 42 من الطرفين:
$3X = 6.$

ثم نقسم على 3 للحصول على:
$X = 2.$

هذا هو الحل النهائي للمسألة. استخدمنا قوانين الضرب النقطي والتوزيع لتبسيط التعابير والوصول إلى القيمة المجهولة.