حل مسألة الضرب الصليبي في الرياضيات (مسألة رياضيات)

المسألة:

إذا كانت $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \ 4 \ -7 \end{pmatrix},$ فحسب، قم بحساب $\mathbf{a} \times (3 \mathbf{b}).$

الحل:

لحل هذه المسألة، نحتاج أولاً إلى معرفة كيفية حساب الضرب الصليبي لناقلين في الفضاء الثلاثي. إذا كانت $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix}$ و $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \end{pmatrix},$ فإن $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ يحسب كما يلي:

من المعطيات، نعلم أن $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \ 4 \ -7 \end{pmatrix}.$

الآن، سنقوم بحساب $\mathbf{a} \times (3 \mathbf{b}).$ يكون ذلك ببساطة ضرب ناقل $\mathbf{a}$ في ناقل $3 \mathbf{b}.$ لنقم بحساب ذلك:

ثم نقوم بحساب الضرب الصليبي:

الآن، يمكننا تبسيط هذه العبارات للحصول على الناتج النهائي. يُرجى ملاحظة أن الهدف هو إيجاد القيم الرقمية لكل عنصر في الناقل النهائي.

بالطبع، سنقوم بتوضيح تفاصيل أكثر لحل هذه المسألة وسنستعرض القوانين المستخدمة.

للحسابات الصليبية في الفضاء الثلاثي، نحتاج إلى استخدام القوانين التالية:

1. قانون الضرب الصليبي:
   إذا كانت $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix}$ و $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \end{pmatrix},$ فإن $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ يحسب كما يلي:

   $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3 – a_3b_2 \\ a_3b_1 – a_1b_3 \\ a_1b_2 – a_2b_1 \end{pmatrix}$$

2. ضرب ناقل بعدد:
   إذا كان $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}$ ناقل في الفضاء الثلاثي، فإن ضربه في عدد $c$ يكون كالتالي:

   $$c \mathbf{v} = \begin{pmatrix} cx \\ cy \\ cz \end{pmatrix}$$

الآن، دعونا نحل المسألة باستخدام هذه القوانين. نعلم أن $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \ 4 \ -7 \end{pmatrix}.$

ثم نقوم بحساب $3 \mathbf{b}$ للضرب في $\mathbf{a}$:

وباستخدام قانون الضرب الصليبي، نحسب $\mathbf{a} \times (3 \mathbf{b})$:

ثم نقوم بتبسيط العبارات للحصول على الناتج النهائي.

في هذا الحل، تم استخدام قوانين الضرب الصليبي وضرب الناقل في عدد لحل المسألة.