عدد القيم التي تحقق المعادلة sin(x)=−0.73 للزاوية x، حيث 0∘≤x<360∘، يمكننا حسابها بواسطة البحث عن الزوايا التي تكون الجيب (النسبة بين الضلع المقابل للزاوية والوتر) فيها يساوي -0.73.
للقيام بذلك، يمكننا استخدام الدوال المثلثية وخاصةً الجيب، حيث sin(x)=الوترالضلع المقابل. إذا كانت قيمة الجيب تساوي -0.73، فإننا نبحث عن الزوايا التي تحقق هذا الناتج.
لحل المعادلة، نقوم باستخدام الدوال المثلثية المعاكسة، وفي هذه الحالة، نستخدم الجيب المعكوس (sin−1)، والتي تقوم بإعطاءنا الزاوية عندما نعلم قيمة الجيب. لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:
x=sin−1(−0.73)
وباستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا حساب القيمة الرقمية لهذه الزاوية. الناتج قد يكون بالراديان، ولكن إذا كنا نريد الزاوية بالدرجات، يمكننا استخدام التحويل 180∘/π، حيث:
xدرجة=πxراديان×180∘
أقوم الآن بحساب القيمة الرقمية لهذه الزاوية.
لنقم بحساب قيمة x باستخدام الدالة العكسية للسين sin−1، حيث x=sin−1(−0.73).
x≈−46.64∘
والآن، يمكننا التأكد من أن هذه الزاوية تقع ضمن النطاق 0∘≤x<360∘، لذا نحتاج إلى إيجاد الزوايا الأخرى التي قد تحقق نفس القيمة للسين. لفهم كيفية العثور على هذه الزوايا، يمكننا استخدام فهم دورة السين والكوسين.
نعلم أن السين يكون موجبًا في الربع الأول والربع الثاني، لذا يمكن أن يكون هناك حلاً آخر في الربع الثاني. للعثور على الحل في الربع الثاني، يمكننا استخدام العلاقة بين السين في الربع الثاني والسين في الربع الأول:
sin(180∘−θ)=sin(θ)
لذا يمكننا كتابة:
xربع ثاني=180∘+xربع أول
xربع ثاني=180∘−(−46.64∘)
xربع ثاني≈226.64∘
وبالتالي، هناك حلاً إضافيًا في الربع الثاني. يمكننا الآن التحقق من الربع الثالث والربع الرابع للتأكد من عدم وجود حل إضافي.
في الربع الثالث، يكون السين سالبًا، لذا لا يمكن أن يكون هناك حلاً إضافيًا.
في الربع الرابع، يكون السين موجبًا مرة أخرى، لذا لا يمكن أن يكون هناك حلاً إضافيًا.
لذا، يوجد حلاً واحدًا في الربع الأول وحلاً إضافيًا في الربع الثاني. بالتالي، إجمالاً يوجد حلان للمعادلة sin(x)=−0.73 في النطاق 0∘≤x<360∘، وهما تقريبًا:
x1≈−46.64∘
x2≈226.64∘
المزيد من المعلومات
بالطبع، دعونا نوسّع أكثر في حل المسألة ونركز على القوانين والعلاقات المستخدمة في الحسابات.
حل المسألة:
المعادلة التي نعمل على حلها هي:
sin(x)=−0.73
لحساب قيمة x، نقوم باستخدام الدالة العكسية للسين (sin−1):
x=sin−1(−0.73)
باستخدام الآلة الحاسبة، نحصل على:
x≈−46.64∘
ثم نقوم بالتحقق من النطاق المطلوب 0∘≤x<360∘ ونجد أن هذا الحل يتناسب مع الشروط.
للعثور على حلاً إضافيًا في الربع الثاني، نستخدم العلاقة بين السين في الربع الثاني والسين في الربع الأول:
xربع ثاني=180∘+xربع أول
ونحسب:
xربع ثاني≈226.64∘
ونتحقق مرة أخرى من النطاق للتأكد من صحة الحلا.
القوانين والعلاقات المستخدمة:
-
دالة السين والعلاقة بينها وبين الزوايا:
sin(x)=الوترالضلع المقابل -
استخدام الدالة العكسية (sin−1):
x=sin−1(القيمة) -
العلاقة بين الزوايا في الربعين الأول والثاني:
xربع ثاني=180∘+xربع أول -
تحويل الزوايا من الراديان إلى الدرجات:
xدرجة=πxراديان×180∘
هذه القوانين تساعدنا في تحديد الحلول والتأكد من أنها تنطبق داخل النطاق المطلوب. يُفضل دائمًا التحقق من الحلول بعناية وفحصها في السياق الرياضي الذي يُعتمد فيه السؤال.