مسائل رياضيات

حل مسألة السين: قيم زوايا الجيب (مسألة رياضيات)

عدد القيم التي تحقق المعادلة sin(x)=0.73\sin(x) = -0.73 للزاوية xx، حيث 0x<3600^\circ \leq x < 360^\circ، يمكننا حسابها بواسطة البحث عن الزوايا التي تكون الجيب (النسبة بين الضلع المقابل للزاوية والوتر) فيها يساوي -0.73.

للقيام بذلك، يمكننا استخدام الدوال المثلثية وخاصةً الجيب، حيث sin(x)=الضلع المقابلالوتر\sin(x) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}}. إذا كانت قيمة الجيب تساوي -0.73، فإننا نبحث عن الزوايا التي تحقق هذا الناتج.

لحل المعادلة، نقوم باستخدام الدوال المثلثية المعاكسة، وفي هذه الحالة، نستخدم الجيب المعكوس (sin1\sin^{-1})، والتي تقوم بإعطاءنا الزاوية عندما نعلم قيمة الجيب. لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:

x=sin1(0.73)x = \sin^{-1}(-0.73)

وباستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا حساب القيمة الرقمية لهذه الزاوية. الناتج قد يكون بالراديان، ولكن إذا كنا نريد الزاوية بالدرجات، يمكننا استخدام التحويل 180/π180^\circ/\pi، حيث:

xدرجة=xراديان×180πx_{\text{درجة}} = \frac{x_{\text{راديان}} \times 180^\circ}{\pi}

أقوم الآن بحساب القيمة الرقمية لهذه الزاوية.

لنقم بحساب قيمة xx باستخدام الدالة العكسية للسين sin1\sin^{-1}، حيث x=sin1(0.73)x = \sin^{-1}(-0.73).

x46.64x \approx -46.64^\circ

والآن، يمكننا التأكد من أن هذه الزاوية تقع ضمن النطاق 0x<3600^\circ \leq x < 360^\circ، لذا نحتاج إلى إيجاد الزوايا الأخرى التي قد تحقق نفس القيمة للسين. لفهم كيفية العثور على هذه الزوايا، يمكننا استخدام فهم دورة السين والكوسين.

نعلم أن السين يكون موجبًا في الربع الأول والربع الثاني، لذا يمكن أن يكون هناك حلاً آخر في الربع الثاني. للعثور على الحل في الربع الثاني، يمكننا استخدام العلاقة بين السين في الربع الثاني والسين في الربع الأول:

sin(180θ)=sin(θ)\sin(180^\circ – \theta) = \sin(\theta)

لذا يمكننا كتابة:

xربع ثاني=180+xربع أولx_{\text{ربع ثاني}} = 180^\circ + x_{\text{ربع أول}}

xربع ثاني=180(46.64)x_{\text{ربع ثاني}} = 180^\circ – (-46.64^\circ)

xربع ثاني226.64x_{\text{ربع ثاني}} \approx 226.64^\circ

وبالتالي، هناك حلاً إضافيًا في الربع الثاني. يمكننا الآن التحقق من الربع الثالث والربع الرابع للتأكد من عدم وجود حل إضافي.

في الربع الثالث، يكون السين سالبًا، لذا لا يمكن أن يكون هناك حلاً إضافيًا.

في الربع الرابع، يكون السين موجبًا مرة أخرى، لذا لا يمكن أن يكون هناك حلاً إضافيًا.

لذا، يوجد حلاً واحدًا في الربع الأول وحلاً إضافيًا في الربع الثاني. بالتالي، إجمالاً يوجد حلان للمعادلة sin(x)=0.73\sin(x) = -0.73 في النطاق 0x<3600^\circ \leq x < 360^\circ، وهما تقريبًا:

x146.64x_1 \approx -46.64^\circ

x2226.64x_2 \approx 226.64^\circ

المزيد من المعلومات

بالطبع، دعونا نوسّع أكثر في حل المسألة ونركز على القوانين والعلاقات المستخدمة في الحسابات.

حل المسألة:

المعادلة التي نعمل على حلها هي:

sin(x)=0.73\sin(x) = -0.73

لحساب قيمة xx، نقوم باستخدام الدالة العكسية للسين (sin1\sin^{-1}):

x=sin1(0.73)x = \sin^{-1}(-0.73)

باستخدام الآلة الحاسبة، نحصل على:

x46.64x \approx -46.64^\circ

ثم نقوم بالتحقق من النطاق المطلوب 0x<3600^\circ \leq x < 360^\circ ونجد أن هذا الحل يتناسب مع الشروط.

للعثور على حلاً إضافيًا في الربع الثاني، نستخدم العلاقة بين السين في الربع الثاني والسين في الربع الأول:

xربع ثاني=180+xربع أولx_{\text{ربع ثاني}} = 180^\circ + x_{\text{ربع أول}}

ونحسب:

xربع ثاني226.64x_{\text{ربع ثاني}} \approx 226.64^\circ

ونتحقق مرة أخرى من النطاق للتأكد من صحة الحلا.

القوانين والعلاقات المستخدمة:

  1. دالة السين والعلاقة بينها وبين الزوايا:
    sin(x)=الضلع المقابلالوتر\sin(x) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}}

  2. استخدام الدالة العكسية (sin1\sin^{-1}):
    x=sin1(القيمة)x = \sin^{-1}(\text{القيمة})

  3. العلاقة بين الزوايا في الربعين الأول والثاني:
    xربع ثاني=180+xربع أولx_{\text{ربع ثاني}} = 180^\circ + x_{\text{ربع أول}}

  4. تحويل الزوايا من الراديان إلى الدرجات:
    xدرجة=xراديان×180πx_{\text{درجة}} = \frac{x_{\text{راديان}} \times 180^\circ}{\pi}

هذه القوانين تساعدنا في تحديد الحلول والتأكد من أنها تنطبق داخل النطاق المطلوب. يُفضل دائمًا التحقق من الحلول بعناية وفحصها في السياق الرياضي الذي يُعتمد فيه السؤال.