حل مسألة السرعات المتوسطة بطريقة تفصيلية (مسألة رياضيات)

كول قاد من المنزل إلى العمل بسرعة متوسطة قدرها 80 كم/س. ثم عاد إلى المنزل بسرعة متوسطة قدرها 120 كم/س. إذا استغرقت الرحلة الذهاب والعودة مجموعًا 2 ساعة، كم استغرقت الدقائق التي قادها كول للوصول إلى العمل؟

الحل:
لنحل هذه المسألة، لنمثل المسافة بوحدة ما، فلنفترض أن المسافة بين المنزل والعمل تكون d وحدتها كيلومتر. بمعرفة السرعة والزمن، يمكننا استخدام الصيغة التالية:

$\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}}$

للرحيل إلى العمل:
$t_{\text{الذهاب}} = \frac{d}{80}$

وعند العودة:
$t_{\text{العودة}} = \frac{d}{120}$

إذاً، إجمالي الزمن للرحلة الذهاب والعودة هو:
$t_{\text{الذهاب والعودة}} = t_{\text{الذهاب}} + t_{\text{العودة}}$

$t_{\text{الذهاب والعودة}} = \frac{d}{80} + \frac{d}{120}$

ونعلم أن:
$t_{\text{الذهاب والعودة}} = 2$ ساعة

نحل المعادلة للعثور على قيمة d:
$2 = \frac{d}{80} + \frac{d}{120}$

قد نضرب كل المصطلحات في المعادلة بـ 240 لتجنب الكسور، وبعد حل المعادلة، نجد أن $d = 60$ كم.

الآن، لنجد الزمن اللازم للرحيل إلى العمل:
$t_{\text{الذهاب}} = \frac{60}{80} = \frac{3}{4}$ ساعة

لتحويل هذا إلى دقائق:
$t_{\text{الذهاب}} = \frac{3}{4} \times 60 = 45$ دقيقة

إذاً، استغرق كول 45 دقيقة للوصول إلى العمل.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قانون السرعة المتوسطة ونستخدم العلاقة بين السرعة والزمن للعثور على المسافة. سنستخدم القانون التالي:

$\text{السرعة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}}$

وقانون السرعة المتوسطة:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{\text{المسافة الكلية}}{\text{الزمن الكلي}}$

في هذه المسألة، سنقوم بتمثيل المسافة بالـ d وحدتها كيلومتر، ونستخدم السرعة والزمن للرحيل والعودة. للرحيل:

$t_{\text{الذهاب}} = \frac{d}{80}$

وعند العودة:

$t_{\text{العودة}} = \frac{d}{120}$

إذاً، السرعة المتوسطة للذهاب والعودة هي:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{2d}{t_{\text{الذهاب}} + t_{\text{العودة}}}$

ونعلم أن:

$t_{\text{الذهاب والعودة}} = t_{\text{الذهاب}} + t_{\text{العودة}}$

نستخدم القانون لحساب السرعة المتوسطة. بعد ذلك، نستخدم العلاقة بين السرعة والزمن للعثور على المسافة:

$\text{المسافة} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$

الآن، لنقم بحل المعادلة للعثور على المسافة:

$2 = \frac{2d}{t_{\text{الذهاب}} + t_{\text{العودة}}}$

ونعلم أن $t_{\text{الذهاب}} = \frac{d}{80}$ و $t_{\text{العودة}} = \frac{d}{120}$، لذلك نستخدم هذه القيم في المعادلة.

بعد الحسابات، نجد أن $d = 60$ كم. ثم نستخدم العلاقة بين السرعة والزمن للعثور على الزمن اللازم للرحيل:

$t_{\text{الذهاب}} = \frac{60}{80}$

وأخيرًا، نحول الزمن إلى دقائق ($t_{\text{الذهاب}} = \frac{3}{4} \times 60 = 45$).

القوانين المستخدمة هي:

1. قانون السرعة والزمن ($\text{السرعة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}}$)
2. قانون السرعة المتوسطة ($\text{السرعة المتوسطة} = \frac{\text{المسافة الكلية}}{\text{الزمن الكلي}}$)
3. علاقة بين السرعة والزمن ($\text{المسافة} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$)