حل مسألة الزوايا بين المتجهات. (مسألة رياضيات)

لنكتب المعادلة المعطاة مع إشارة الضرب النقطي والضرب البادئ للمتجهات:

بما أننا نعرف أنه لا يمكن ضرب متجهين في بعضهما البعض، يمكننا استخدام الهويّة التي تقول:

لذلك، يمكننا إعادة كتابة المعادلة كالتالي:

الآن، سنفك الضرب النقطي ونعرف أن:

حيث أن $\theta$ هو الزاوية بين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{c}$، و $\phi$ هو الزاوية بين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$.

وباستخدام معادلات المسألة، يمكننا تعويض القيم والتعبير عن العلاقات بشكل أكثر وضوحًا:

نلاحظ أنه يمكن إلغاء $|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| |\mathbf{c}|$ من الجانبين، حيث أنها قيم غير صفرية ويمكن أن تُقسَم:

بما أن الأوجه الثلاثة ليست متوازية، يمكن أن نقارن معاملات الوجهين. لوجهة البناء، فإن معامل الوجه الذي يتضمن $\mathbf{b}$ هو $\cos(\theta)$، وللوجه الذي يتضمن $\mathbf{c}$ هو $\cos(\phi)$.

لذلك، يجب أن يكون للمعادلة معامل متساوٍ لكلا الوجهين:

الآن، لحساب قيمة $\sin(\theta)$، يمكننا استخدام العلاقة التي تربط بين الجيب والسين:

وبما أن القيمة الجذرية لثمانية هي $2\sqrt{2}$، فإن القيمة النهائية لـ $\sin(\theta)$ هي $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

إذاً، قيمة $\sin(\theta)$ هي $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

في هذه المسألة، نُعطى متجهات $\mathbf{a}$، $\mathbf{b}$، و $\mathbf{c}$، ونُطلب إيجاد قيمة $\sin(\theta)$، حيث أن $\theta$ هي الزاوية بين $\mathbf{b}$ و $\mathbf{c}$.

الخطوات الأساسية لحل المسألة تتضمن استخدام قوانين حساب المتجهات والعلاقات الهندسية. القوانين المستخدمة تشمل:

1. منتج الصلب (Cross Product) للمتجهات:
   منتج الصلب بين متجهين $\mathbf{u}$ و $\mathbf{v}$ يُعطي متجها جديدا يكون متعامدا على كل من $\mathbf{u}$ و $\mathbf{v}$. في هذه المسألة، نستخدم منتج الصلب للحصول على متجه جديد يُطابق الشرط المعطى.

2. الضرب النقطي (Dot Product) للمتجهات:
   الضرب النقطي بين متجهين $\mathbf{u}$ و $\mathbf{v}$ يُعطي قيمة هي الناتج من ضرب مقاديرهما مضروبة بجيب الزاوية بينهما. هذا يُساعد في حساب الزوايا بين المتجهات.

3. علاقات الهوية الفيزيائية للمتجهات:
   نستخدم علاقات مثل هوية الضرب النقطي لتعبيرات المتجهات لتبسيط المعادلات.

4. العلاقات الهندسية:
   نستخدم العلاقات الهندسية لحساب الزوايا بين المتجهات، ونستخدم الجيومتريا لتبسيط المسألة والوصول إلى الحل.

الحل الكامل للمسألة ينطوي على استخدام هذه القوانين بشكل متسلسل، مع تبسيط المعادلات وحساب القيم الرقمية للمتجهات والزوايا. تم تفصيل هذه الخطوات في الإجابة السابقة.