حل مسألة الزوايا باستخدام الجبر الخطي (مسألة رياضيات)

نتيجة للمعلومات المعطاة في السؤال، فإننا نعلم أن طولين الفيكتورين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ هما متساويين، وأيضًا طول الجمع بينهما $\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|$ يكون متساويًا لهما.

لنقم بتعبير طول الفيكتورين بشكل رمزي، حيث يكون طول الفيكتور $\mathbf{v}$ هو $\|\mathbf{v}\|$. بناءً على هذا، يُعبر الشرط المعطى في السؤال عن المعادلة التالية:
$\|\mathbf{a}\| = \|\mathbf{b}\| = \|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|$

إذاً لدينا:
$\|\mathbf{a}\| = \|\mathbf{b}\|$
$\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\|$

هذا يعني أن طول الجمع $\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|$ يكون متساويًا لطولي الفيكتورين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ على حد سواء.

الآن، لنقم بحساب الزاوية بين الفيكتورين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$. يمكن استخدام تعريف حاصل الضرب الداخلي بين الفيكتورين للقيام بذلك. إذا كان $\theta$ هو الزاوية بينهما، فإن حاصل الضرب الداخلي يمكن حسابه كالتالي:
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos \theta$

لكن نعلم أن $\|\mathbf{a}\| = \|\mathbf{b}\|$، لذا يمكننا كتابة العلاقة التالية:
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|^2 \cos \theta$

الآن، نستخدم المعلومة الأخيرة التي حصلنا عليها $\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\|$، لنقم بتعويضها في المعادلة السابقة:
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|^2 \cos \theta$

نقوم بتوسيع $\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|^2$ باستخدام الهوية الجبرية $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cos \theta$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|^2 \cos \theta$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|^2$

الآن، يمكننا إلغاء حاصل الضرب الداخلي من الطرفين، وذلك لأنه يعني أن الزاوية $\theta$ هي الزاوية المطلوبة. لذا، نحصل على:
$\cos \theta = 1$

لأننا نريد حساب الزاوية بالدرجات، نستخدم الدالة العكسية للكوساين للحصول على القيمة المناسبة:
$\theta = \cos^{-1}(1)$

نعلم أن قيمة الكوساين عندما يكون الزاوية صفر هي 1، لذا الزاوية بين الفيكتورين هي صفر درجة.

إذا كانت الزاوية بين الفيكتورين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ هي صفر درجة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهومين رئيسيين في الجبر الخطي وهما حاصل الضرب الداخلي وقانون كوساين. قبل أن نقوم بالحل، دعونا نعرف هذين المفهومين.

1. حاصل الضرب الداخلي:
   إذا كانت لدينا الفيكتورات $\mathbf{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ و $\mathbf{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$، فإن حاصل الضرب الداخلي بينهما يُعرف كالتالي:
   $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

2. قانون كوساين:
   في مثلث يوجد جانب يفصل بين زاويتين، فإن قانون كوساين يُعطي علاقة بين الأضلاع وزوايا المثلث، وهو كالتالي:
   $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \theta$
   حيث $c$ هو طول الضلع الذي يُفصل بين الزاويتين $a$ و $b$، و $\theta$ هي الزاوية بين الضلعين $a$ و $b$.

الآن، دعونا نحل المسألة:

نعلم أن
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos \theta$
وفي هذه الحالة، لدينا
$\|\mathbf{a}\| = \|\mathbf{b}\| = \|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|$

باستخدام حاصل الضرب الداخلي، يمكن كتابة المعادلة التالية:
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|^2 \cos \theta$

نستخدم القيم المعطاة في المسألة لتعويض:
$\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|^2 \cos \theta = \|\mathbf{a}\|^2$

نقوم بتوسيع $\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|^2$ باستخدام الهوية الجبرية:
$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cos \theta = \|\mathbf{a}\|^2$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \cos \theta = \|\mathbf{a}\|^2$

$\|\mathbf{a}\|^2 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \|\mathbf{b}\|^2 \cos \theta = \|\mathbf{a}\|^2$

نستخدم القيم المعطاة $\|\mathbf{a}\| = \|\mathbf{b}\|$ و $\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\|$ لتبسيط المعادلة:
$2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \|\mathbf{b}\|^2 \cos \theta = 0$

الآن، نستخدم قانون كوساين للعثور على قيمة $\cos \theta$:
$\cos \theta = -\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2}$

نعلم أن $\|\mathbf{a}\| = \|\mathbf{b}\|$، لذا نستخدم القيمة المعطاة لحساب الزاوية بين الفيكتورين:
$\cos \theta = -\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|^2}$

الآن، نستخدم القيم المعطاة لنحسب الناتج النهائي. يُلاحظ أن القيمة المعطاة لحاصل الضرب الداخلي يكون لديها قيمة موجبة لأن الزاوية بين الفيكتورين هي صفر درجة. لذلك، نقوم بتعويض القيم:
$\cos \theta = -\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|^2} = -\frac{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos \theta}{\|\mathbf{a}\|^2} = -\cos \theta$

نحسب قيمة $\theta$ باستخدام الدالة العكسية للكوساين:
$\theta = \cos^{-1}(-\cos \theta)$

إذاً، الزاوية بين الفيكتورين هي صفر درجة.