حل مسألة الزوايا الزمنية بين عقارب الساعة (مسألة رياضيات)

المسألة:
في أي وقت بين الساعة 5 و 6 يكون عقارب الساعات والدقائق متباعدتين بمقدار 3 دقائق؟

الحل:
لنقم بحساب الزاوية بين عقربي الساعات والدقائق في أي وقت بين 5 و 6.

نعلم أن الساعة تنقسم إلى 12 ساعة، وكل ساعة تتألف من 60 دقيقة. لدينا العلاقة التالية:
$\text{الزاوية الكلية لدورة الساعات} = 360 درجة$

وبما أن الدقيقة تنقسم إلى 60 دقيقة أيضاً، فإننا نعلم أنه في كل دقيقة، عقرب الدقائق يتحرك $\frac{360}{60} = 6$ درجات.

الآن، في أي وقت بين 5 و 6، يكون عقرب الساعات في موضع $5 \times 30 + (\text{الدقائق}/60) \times 30$ درجة.

أما عقرب الدقائق في أي وقت بين 5 و 6، فيكون في موضع $\text{الدقائق} \times 6$ درجات.

لحساب الفارق بينهما، نطرح قيمة عقرب الدقائق من قيمة عقرب الساعات.

لدينا:
$\text{الفارق} = \left| 5 \times 30 + (\text{الدقائق}/60) \times 30 – \text{الدقائق} \times 6 \right|$

ونريد أن يكون هذا الفارق يساوي 3 درجات، لذا:
$\left| 5 \times 30 + (\text{الدقائق}/60) \times 30 – \text{الدقائق} \times 6 \right| = 3$

نحل المعادلة للعثور على قيمة الدقائق المطلوبة.

لحساب الوقت الذي يكون فيه عقرب الساعات والدقائق متباعدين بمقدار 3 دقائق بين الساعة 5 و6، سنستخدم القوانين الزمنية والهندسية المتعلقة بحركة عقربي الساعات والدقائق.

لنحل المسألة، نستخدم القوانين التالية:

1. زاوية دورة الساعات:

   • يتحرك عقرب الساعات في دورة كاملة بزاوية 360 درجة.
   • كل ساعة تمثل جزءًا من هذه الدورة، لذا الزاوية بين الساعات المتتالية تكون $\frac{360}{12} = 30$ درجة.

2. حركة عقرب الدقائق:

   • عقرب الدقائق يتحرك بزاوية 360 درجة خلال ساعة واحدة.
   • لكل دقيقة، يتحرك بزاوية $\frac{360}{60} = 6$ درجات.

3. الفارق بين عقربي الساعات والدقائق:

   • الفارق بين عقرب الساعات والدقائق يحسب عندما يكونوا في وضع معين بالنسبة للزاوية.
   • يمكن استخدام القاعدة: $\text{الفارق} = \left| 5 \times 30 + (\text{الدقائق}/60) \times 30 – \text{الدقائق} \times 6 \right|$

الحل:

نستخدم القاعدة أعلاه ونعوض قيم الزوايا في الفارق لنجد الوقت الذي يكون فيه الفارق بين عقربي الساعات والدقائق يساوي 3 درجات. نعبر عن الوقت بالدقائق لسهولة الحساب.

$\left| 5 \times 30 + \left(\frac{\text{الدقائق}}{60}\right) \times 30 – \text{الدقائق} \times 6 \right| = 3$

حل المعادلة للعثور على قيمة الدقائق المطلوبة لتحقيق الشرط.