حل مسألة الرياضيات: قيمة X واستنتاجاتها (مسألة رياضيات)

إذا كان $a + b = 6$ و $a – b = X$، فما هي قيمة $a^2 – b^2$؟ وإذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 12، ما قيمة المتغير المجهول X؟

لنقم بحل المسألة:
نستخدم هنا خاصية الفرق بين مربعين:

$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$

ونعرف أن $a + b = 6$، و $a – b = X$، لذا نستطيع استبدال القيم في المعادلة:

$a^2 – b^2 = (6)(X) = 6X$

ونعلم من السؤال أن قيمة $a^2 – b^2$ هي 12، إذا:

$6X = 12$

لحل المعادلة نقسم الجانبين على 6:

$X = \frac{12}{6} = 2$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 2.

بالطبع، دعنا نستكشف المسألة بتفصيل أكبر ونذكر القوانين التي تم استخدامها في الحل:

المسألة تتطلب حل معادلتين للعثور على قيمتين مجهولتين. القوانين المستخدمة في الحل هي:

1. خاصية الفرق بين مربعين: $a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$
2. خاصية جمع الإشارات في الأعداد: $a + b = 6$ و $a – b = X$
3. تطبيق قاعدة الضرب: لحساب $a^2 – b^2$ باستخدام القوانين السابقة.

الآن، دعنا نقوم بالتفصيل في الحل:

نبدأ بمعرفة قيم $a$ و $b$ باستخدام المعادلات المعطاة:
$a + b = 6$
$a – b = X$

نستخدم الآن طريقة الإضافة للمعادلتين للحصول على قيم $a$ و $b$. بإضافة المعادلتين معًا، نحصل على:
$(a + b) + (a – b) = 6 + X$
$2a = 6 + X$
$a = \frac{6 + X}{2}$

ثم نستخدم القيمة التي حصلنا عليها لـ $a$ في إحدى المعادلات الأصلية لحساب $b$. فمن المعادلة الأولى $a + b = 6$، نعوض $a$ بالقيمة التي حصلنا عليها:
$\frac{6 + X}{2} + b = 6$
$b = 6 – \frac{6 + X}{2}$
$b = \frac{12 – (6 + X)}{2}$
$b = \frac{12 – 6 – X}{2}$
$b = \frac{6 – X}{2}$

الآن بمعرفة قيم $a$ و $b$، نستخدم خاصية الفرق بين مربعين لحساب $a^2 – b^2$:

$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$
$a^2 – b^2 = \left(\frac{6 + X}{2}\right) \times \left(\frac{6 – X}{2}\right)$
$a^2 – b^2 = \frac{(6 + X)(6 – X)}{4}$
$a^2 – b^2 = \frac{36 – X^2}{4}$

ونعلم من السؤال أن $a^2 – b^2 = 12$، لذا:

$\frac{36 – X^2}{4} = 12$
$36 – X^2 = 12 \times 4$
$36 – X^2 = 48$
$– X^2 = 48 – 36$
$– X^2 = 12$
$X^2 = -12$

هنا يحدث خطأ، لأن المعادلة الناتجة ليست واقعية من الناحية الرياضية، إذ لا يوجد حل حقيقي لجذر سالب. يعني ذلك أن القيمة المعطاة لـ $a^2 – b^2$ كـ 12 غير صحيحة في هذا السياق، والمسألة تتطلب إعادة النظر في الحل والبيانات المقدمة.