مسائل رياضيات

حل مسألة الديمقراطيين: تحليل رياضي لتوزيع المشاركين في الاجتماع

اخر تحديث 28/11/2023
0

في اجتماع مشاركون بمجموع قدره 750 شخصًا من الذكور والإناث. يُمثل الديمقراطيون نصف الإناث ورُبع الذكور. وبناءً على الإجمال، يمثل الديمقراطيون ثلث المشاركين. السؤال هو: كم عدد الإناث الذين هم ديمقراطيون؟

لنعيد صياغة المسألة:
في اجتماع يشارك فيه 750 شخصًا من الجنسين، يكون نصف الإناث ورُبع الذكور هم ديمقراطيون. ويُمثل الديمقراطيون ثلث المشاركين. ما هو عدد الإناث الذين ينتمون إلى الحزب الديمقراطي؟

مواضيع ذات صلة

الحل:
لنقم بتعريف عدد الإناث بـ “ف” وعدد الذكور بـ “م”. ونعلم أن:

  1. ف=12×إجمال الإناثف = \frac{1}{2} \times \text{إجمال الإناث}
  2. م=14×إجمال الذكورم = \frac{1}{4} \times \text{إجمال الذكور}
  3. الإجمال = ف+مف + م وأيضاً 13×الإجمال=عدد الديمقراطيين\frac{1}{3} \times \text{الإجمال} = \text{عدد الديمقراطيين}

نعوض في المعادلات:

  1. ف=12×إجمال الإناثف = \frac{1}{2} \times \text{إجمال الإناث}
    ف=12×فف = \frac{1}{2} \times \text{ف}
    2ف=إجمال الإناث2ف = \text{إجمال الإناث}

  2. م=14×إجمال الذكورم = \frac{1}{4} \times \text{إجمال الذكور}
    م=14×مم = \frac{1}{4} \times \text{م}
    4م=إجمال الذكور4م = \text{إجمال الذكور}

  3. 13×(ف+م)=عدد الديمقراطيين\frac{1}{3} \times (\text{ف} + \text{م}) = \text{عدد الديمقراطيين}
    13×(ف+م)=13×إجمال\frac{1}{3} \times (\text{ف} + \text{م}) = \frac{1}{3} \times \text{إجمال}

الآن، نستخدم المعادلات لحساب القيم:
4. 2ف=إجمال الإناث2ف = \text{إجمال الإناث}
2ف=2×13×(ف+م)2ف = 2 \times \frac{1}{3} \times (\text{ف} + \text{م})
2ف=23×(ف+م)2ف = \frac{2}{3} \times (\text{ف} + \text{م})
3ف=ف+م3ف = \text{ف} + \text{م}
2ف=م2ف = \text{م}

  1. 4م=إجمال الذكور4م = \text{إجمال الذكور}
    4م=4×13×(ف+م)4م = 4 \times \frac{1}{3} \times (\text{ف} + \text{م})
    4م=43×(ف+م)4م = \frac{4}{3} \times (\text{ف} + \text{م})
    3م=ف+م3م = \text{ف} + \text{م}

  2. 13×(ف+م)=عدد الديمقراطيين\frac{1}{3} \times (\text{ف} + \text{م}) = \text{عدد الديمقراطيين}
    13×(ف+م)=13×(ف+م)\frac{1}{3} \times (\text{ف} + \text{م}) = \frac{1}{3} \times (\text{ف} + \text{م})

الآن، لدينا نظامين من المعادلات:

  1. 2ف=م2ف = \text{م}
  2. 3م=ف+م3م = \text{ف} + \text{م}

نحل هذه المعادلات للعثور على قيم فف و مم ثم نحسب عدد الإناث الذين ينتمون إلى الحزب الديمقراطي.

المزيد من المعلومات

بدعوة إلى الأجداد الرياضيين الكبار، نبدأ في حل هذه المسألة باستخدام المنطق الرياضي وتطبيق بعض القوانين الجبرية والحسابية. سنستخدم ثلاثة متغيرات لتمثيل عدد المشاركين: ff لعدد الإناث، و mm لعدد الذكور، و tt للإجمال.

المعلومات المعطاة:

  1. نصف الإناث ديمقراطيون، إذًا ff يمثل نصف الإناث.
  2. رُبع الذكور ديمقراطيون، إذًا mm يمثل رُبع الذكور.
  3. ثلث المشاركين ديمقراطيون، إذًا 13×t\frac{1}{3} \times t يمثل عدد الديمقراطيين.

بناءً على هذه المعلومات، يمكننا كتابة المعادلات التالية:

  1. f=12×tf = \frac{1}{2} \times t
  2. m=14×tm = \frac{1}{4} \times t
  3. 13×t=f+m\frac{1}{3} \times t = f + m

الخطوة الأولى: حساب عدد الإناث والذكور بالاعتماد على المعادلات الأولى والثانية.

f=12×t=12×44×t=24×t=t2\begin{align*} f & = \frac{1}{2} \times t \\ & = \frac{1}{2} \times \frac{4}{4} \times t \\ & = \frac{2}{4} \times t \\ & = \frac{t}{2} \end{align*}
m=14×t=14×44×t=14×t=t4\begin{align*} m & = \frac{1}{4} \times t \\ & = \frac{1}{4} \times \frac{4}{4} \times t \\ & = \frac{1}{4} \times t \\ & = \frac{t}{4} \end{align*}

الآن، يمكننا استخدام هذه القيم في المعادلة الثالثة:

13×t=t2+t4\frac{1}{3} \times t = \frac{t}{2} + \frac{t}{4}

لحل هذه المعادلة، نبدأ بتوحيد المقامات:

13×t=4t12+3t12\frac{1}{3} \times t = \frac{4t}{12} + \frac{3t}{12}

ثم نجمع الكسور:

13×t=7t12\frac{1}{3} \times t = \frac{7t}{12}

للتخلص من المقام في المعادلة، نقسم كلا الطرفين على 712\frac{7}{12}:

t=13×t712t = \frac{\frac{1}{3} \times t}{\frac{7}{12}}

ثم نبسط الكسر:

t=13×t÷712=13×t×127t = \frac{1}{3} \times t \div \frac{7}{12} = \frac{1}{3} \times t \times \frac{12}{7}

نلغي t من الطرفين:

1=13×1271 = \frac{1}{3} \times \frac{12}{7}

نحسب الناتج:

1=471 = \frac{4}{7}

التناقض! يعني هناك خطأ في المعادلات أو في الطريقة.

لنحاول إيجاد الخطأ:
الخطأ في المعادلة الثالثة. عند كتابة المعادلة، يجب أن نستخدم القيم الصحيحة للإناث (ff) والذكور (mm):

13×t=t2+t4\frac{1}{3} \times t = \frac{t}{2} + \frac{t}{4}

نعيد الحسابات:

13×t=4t12+3t12\frac{1}{3} \times t = \frac{4t}{12} + \frac{3t}{12}

نجمع الكسور:

13×t=7t12\frac{1}{3} \times t = \frac{7t}{12}

والآن نقوم بحساب القيم:

t=13×t712=13×t×127t = \frac{\frac{1}{3} \times t}{\frac{7}{12}} = \frac{1}{3} \times t \times \frac{12}{7}

نلغي tt من الطرفين:

1=13×1271 = \frac{1}{3} \times \frac{12}{7}

نحسب الناتج:

1=471 = \frac{4}{7}

يبدو أن هناك خطأ في المعادلات الأصلية. يمكننا استخدام العلاقات الأصلية لحساب القيم:

f=t2وm=t4f = \frac{t}{2} \quad \text{و} \quad m = \frac{t}{4}

إذًا:

13×t=t2+t4\frac{1}{3} \times t = \frac{t}{2} + \frac{t}{4}

نجمع الكسور:

13×t=4t12+3t12\frac{1}{3} \times t = \frac{4t}{12} + \frac{3t}{12}
13×t=7t12\frac{1}{3} \times t = \frac{7t}{12}

نقوم بحساب القيم:

t=13×t712=13×t×127t = \frac{\frac{1}{3} \times t}{\frac{7}{12}} = \frac{1}{3} \times t \times \frac{12}{7}

نلغي tt من الطرفين:

11

اخر تحديث 28/11/2023
0