حل مسألة: الدورة الكاملة للدائرة في الإحداثيات القطبية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي البحث عن القيمة الدنيا لزاوية $t$ حيث يتكون الرسم البياني للمعادلة $r = \cos \theta$ في النطاق $0 \le \theta \le t$ دائرة كاملة.

لحل هذه المسألة، نتابع بتحليل المعادلة المطروحة. المعادلة $r = \cos \theta$ ترتبط بالإحداثيات القطبية، حيث $r$ هو المسافة من النقطة إلى الأصل (نقطة (0,0) في الإحداثيات القطبية)، و$\theta$ هو الزاوية بين الاحداثيات القطبية والمحور السيني.

في حالة $r = \cos \theta$، يكون $r$ يساوي قيمة الجيب تمامًا في الزاوية $\theta$. نعلم أن الجيب يتكرر بانتظام في الفترات الزاوية الإيجابية والسلبية، حيث تكون قيم الجيب تتراوح بين -1 و1.

لتكوين دائرة كاملة، يجب أن يكون الرسم البياني للمعادلة يتكرر بانتظام على مدار الدوران الكامل (360 درجة أو $2\pi$ راديان). وبما أن $r$ يتغير بين -1 و1، يجب أن يكون الزاوية $t$ التي نبحث عنها تلبي هذا الشرط.

بما أن $\cos \theta$ يتكرر بانتظام كل $2\pi$ راديان، يكفي أن نجعل $t$ يساوي $2\pi$ لضمان تكرار المعادلة على مدار الدائرة الكاملة.

إذا كانت المعادلة $r = \cos \theta$ تمثل دائرة كاملة عندما $0 \le \theta \le 2\pi$، فإن القيمة الدنيا لـ $t$ هي $2\pi$.

في هذه المسألة، نحن نسعى للعثور على قيمة $t$ التي تجعل المعادلة القطبية $r = \cos \theta$ تشكل دائرة كاملة عند رسمها في الإحداثيات القطبية.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى مراجعة بعض القوانين والمفاهيم في الرياضيات:

1. الإحداثيات القطبية: في الإحداثيات القطبية، نستخدم الزوايا والمسافات لتحديد المواقع. الزاوية $\theta$ تقاس عكس اتجاه عقارب الساعة من الشمال الثابت، والمسافة $r$ تقيس المسافة من النقطة إلى المنشأ (نقطة $(0,0)$).

2. الدالة الكوسين: الكوسين من الزاوية $\theta$ يُعرف كنسبة المثلث المستقيم الذي يحتوي على الزاوية $\theta$ ويتناسب مع طول الضلع المجاور للزاوية إلى طول الوتر (الضلع المقابل للزاوية) في المثلث.

3. دورة الكوسين: الكوسين يتكرر بشكل دوري كل $2\pi$ راديان. يعني هذا أن الدورة الكاملة للكوسين تبدأ من 0 وتنتهي عند $2\pi$.

لحساب قيمة $t$ التي تجعل المعادلة $r = \cos \theta$ تشكل دائرة كاملة، نحتاج إلى تحديد الزاوية $t$ التي تعطي لنا دورة كاملة من الكوسين.

بما أن الكوسين يتكرر كل $2\pi$ راديان، فإنه لنا نقطة البداية عند $\theta = 0$ ونحتاج لنهاية الدورة عند $\theta = t$، بحيث $t$ يُمثل الزاوية التي تحقق الدورة الكاملة.

لذا، نحن نحتاج إلى $t = 2\pi$ راديان لنحصل على دورة كاملة للكوسين، مما يعني أن الدائرة التي نرسمها ستكون دائرة كاملة.

باختصار، القانون الرئيسي المستخدم في الحل هو دورة الكوسين ومفهوم الزوايا في الإحداثيات القطبية، حيث نستنتج أن قيمة $t$ التي تجعل المعادلة $r = \cos \theta$ تشكل دائرة كاملة هي $t = 2\pi$ راديان.