مسائل رياضيات

حل مسألة الدوران والتوسيع: تحديد $X$ و $\theta$ (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 22/02/2024
0

إذا كانت $\mathbf{D}$ مصفوفة تمثل توسيعًا بعامل تكبير $k > 0$ وإذا كانت $\mathbf{R}$ مصفوفة تمثل دورانًا حول الأصل بزاوية $\theta$ باتجاه عقارب الساعة، ثم إذا كان
RD=(8−4X8),\mathbf{R} \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 8 & -4 \\ X & 8 \end{pmatrix},
فلنحاول إيجاد قيمة المتغير المجهول $X$.

للقيام بذلك، نحن بحاجة إلى حساب الضرب $\mathbf{R} \mathbf{D}$. يتم ذلك عن طريق ضرب المصفوفتين $\mathbf{D}$ و $\mathbf{R}$، ومن ثم تحديد العناصر الناتجة.

مواضيع ذات صلة

لنكتب أولاً الضرب $\mathbf{R} \mathbf{D}$:
RD=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(k00k).\mathbf{R} \mathbf{D} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}.
حسب خواص ضرب المصفوفات، نقوم بضرب كل صف من $\mathbf{R}$ بكل عمود من $\mathbf{D}$ ونجمع الناتج. لذلك، يكون الضرب كالتالي:

الصف الأول:
8=cos⁡θ⋅k−sin⁡θ⋅0=kcos⁡θ,8 = \cos \theta \cdot k – \sin \theta \cdot 0 = k \cos \theta,
−4=−sin⁡θ⋅k+cos⁡θ⋅0=−ksin⁡θ.-4 = -\sin \theta \cdot k + \cos \theta \cdot 0 = -k \sin \theta.

الصف الثاني:
X=cos⁡θ⋅0−sin⁡θ⋅k=−ksin⁡θ,X = \cos \theta \cdot 0 – \sin \theta \cdot k = -k \sin \theta,
8=sin⁡θ⋅0+cos⁡θ⋅k=kcos⁡θ.8 = \sin \theta \cdot 0 + \cos \theta \cdot k = k \cos \theta.

لحساب $\tan \theta$، نستخدم التعريف:
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ.\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}.
إذاً:
tan⁡θ=−ksin⁡θkcos⁡θ=−sin⁡θcos⁡θ.\tan \theta = \frac{-k \sin \theta}{k \cos \theta} = \frac{-\sin \theta}{\cos \theta}.

ونعلم أن الجواب المعطى للسؤال هو $\tan \theta = 2$. إذاً،
−sin⁡θcos⁡θ=2.\frac{-\sin \theta}{\cos \theta} = 2.
يمكننا استخدام معرفات دوال التمام:
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=−2.\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -2.

بما أننا نعرف القيمة المطلوبة ل $\tan \theta$، يمكننا حل المعادلة التالية للعثور على قيمة $\sin \theta$ و $\cos \theta$:
−sin⁡θcos⁡θ=−2.\frac{-\sin \theta}{\cos \theta} = -2.

توازنت المعادلة على النحو التالي:
sin⁡θ=2cos⁡θ.\sin \theta = 2 \cos \theta.

ونستخدم المعرفة التي تقول:
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1.\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.

باستبدال $\sin \theta$ بالتعبير السابق، نحصل على:
(2cos⁡θ)2+cos⁡2θ=1.(2 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1.
4cos⁡2θ+cos⁡2θ=1.4 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.
5cos⁡2θ=1.5 \cos^2 \theta = 1.
cos⁡2θ=15.\cos^2 \theta = \frac{1}{5}.
cos⁡θ=±15.\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}.

بما أننا نبحث عن قيمة $\theta$ التي تقع في الربع الأول أو الربع الرابع (حيث تكون قيمة $\cos \theta$ إيجابية)، فنختار $\cos \theta = \sqrt{\frac{1}{5}}$.

الآن، باستخدام نسبة التمام للحصول على قيمة $\sin \theta$، نجد:
sin⁡θ=2cos⁡θ=2×15=25.\sin \theta = 2 \cos \theta = 2 \times \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}.

الآن، بعد أن حصلنا على قيم $\sin \theta$ و $\cos \theta$، يمكننا العودة إلى المعادلة التي تحدد $X$، وهي $X = -k \sin \theta$. باستبدال قيمة $\sin \theta$ التي حسبناها، نحصل على:
X=−k(25).X = -k \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right).

والآن يكون لدينا القيم المطلوبة للحساب.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة المعطاة، نستخدم المعرفة بخصائص دوال الجبر والمثلثات وخصائص الدوران والتوسيع.

  1. ضرب المصفوفات:

    • نستخدم قاعدة ضرب المصفوفات حيث يتم ضرب كل صف من المصفوفة الأولى بكل عمود من المصفوفة الثانية ويتم جمع الناتج.

  2. خصائص الدوران والتوسيع:

    • المصفوفة $\mathbf{D}$ تمثل عملية التوسيع والتي تُضاعف أو تُقلل المقياس بواسطة العامل $k$.
    • المصفوفة $\mathbf{R}$ تمثل الدوران حول الأصل بزاوية معينة $\theta$.

  3. التعريفات الأساسية للدوال المثلثية:

    • $\sin \theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}}$ و $\cos \theta = \frac{\text{المجاور}}{\text{الفرضي}}$ و $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.

  4. التماثل بالمثلثات:

    • نستخدم المعادلة $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ للعثور على قيمة مجهولة مثل $\sin \theta$ أو $\cos \theta$.

باستخدام هذه القوانين، نقوم بحساب الضرب $\mathbf{R} \mathbf{D}$ ومن ثم مقارنة العناصر مع المصفوفة المعطاة، وباستخدام خصائص الدوال المثلثية والمعادلات، نحسب الزاوية $\theta$ والقيمة المجهولة $X$.

يتطلب الحل دقة في الحسابات واستخدام التعريفات الصحيحة للدوال المثلثية والمعادلات، مع التأكد من توجيه الدوران وتوجيه الزوايا المعطاة في المسألة.

اخر تحديث 22/02/2024
0