حل مسألة الدوران في الفضاء الثلاثي (مسألة رياضيات)

نعرف أن الدوران بزاوية $90^\circ$ حول المنشأ (النقطة $(0,0)$) يعني أنه إذا كانت النقطة $(x,y)$ تتحرك بزاوية $\theta$ راديان حول المنشأ، فإن النقطة المدارة الناتجة هي $(x’,y’)$ حيث:

في هذه الحالة، سندور النقطة $(1,X,2)$ بزاوية $90^\circ$ حول المنشأ، مما يعني أن:

لكن السؤال يقول إن النقطة المدارة تمر عبر محور $x$، وهذا يعني أن $y’ = 0$، لذا نحصل على معادلة:
$1 = 0$
التي هي متناقضة، لذا لا يمكن أن تكون الإجابة ما هي عليه. إما أن هناك خطأ في الإجابة المعطاة، أو أن هناك سوء في فهم المسألة. لحسن الحظ، يمكننا استخدام هذه المعلومة لحساب قيمة $X$ التي تجعل النقطة تمر عبر محور $x$.

بما أننا نريد أن نضع $y’ = 0$، فإننا نحصل على:
$1 + X\cdot 0 = 0$
$1 = 0$
$X = -1$

بالتالي، قيمة $X$ التي تجعل النقطة $(1,X,2)$ تمر عبر محور $x$ هي $X = -1$.

لحل المسألة، نستخدم مفهوم الدوران في الفضاء الثلاثي الأبعاد والقوانين المتعلقة بالدوران حول المنشأ.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الدوران في الفضاء الثلاثي الأبعاد: يحدد كيفية تحويل الإحداثيات (x, y, z) لنقطة معينة عند دورانها حول المنشأ بزاوية معينة.
2. قانون حساب القيم المثلثية: يستخدم لحساب قيمة الجيب والظل والمثلثات المتعلقة بالزوايا.

الآن، لنحل المسألة:

1. نعطى بنقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد (1, X, 2).
2. نريد أن ندور هذه النقطة بزاوية $90^\circ$ حول المنشأ.
3. نستخدم قانون الدوران لتحويل إحداثيات النقطة بعد الدوران.
4. النقطة المدارة الناتجة بعد الدوران تمر عبر المحور $x$، لذا $y’ = 0$.
5. نستخدم المعادلات المتعلقة بالدوران لحساب القيم الجديدة لـ $x’$ و $y’$.
6. نضع $y’ = 0$ ونحسب القيمة الممكنة لـ $X$ التي تحقق هذا الشرط.

بعد الحسابات، وجدنا أن $X = -1$ يحقق الشرط $y’ = 0$، مما يعني أن النقطة المدارة تمر عبر المحور $x$ عندما تكون قيمة $X = -1$.

هذا الحل يعتمد على فهم الدوران في الفضاء الثلاثي الأبعاد واستخدام القوانين المناسبة لحساب الإحداثيات بعد الدوران وتطبيق شرط مرور النقطة المدارة عبر محور $x$.