حل مسألة: الدوال والعكس التابع (مسألة رياضيات)

إذا كانت $f(x) = 3x + 4$ و $g(x) = 2x – 3$، و $h(x) = f(g(x))$، فما هو العكس التابع لـ $h(x)$؟

لحساب $h(x)$، نستبدل $g(x)$ في $f(x)$:
$h(x) = f(g(x)) = f(2x – 3)$

ونعرف أن
$f(x) = 3x + 4$

نستبدل $g(x)$ بالقيمة التي أعطيت لها:
$h(x) = f(2x – 3) = 3(2x – 3) + 4$

الآن، سنقوم بحساب $h(x)$:
$h(x) = 6x – 9 + 4 = 6x – 5$

لذا، نجد أن الدالة $h(x)$ هي $6x – 5$.

لحساب الدالة العكسية $h^{-1}(x)$، سنقوم بتبديل $x$ و $y$ في المعادلة ومن ثم حلها لـ $y$، وهذا يعني أننا سنبدل بين $x$ و $y$ في المعادلة $h(x)$ ونقوم بحلها لـ $x$.

لذا، لنقوم بتبديل $x$ و $y$ في $h(x)$:
$x = 6y – 5$

الآن، سنقوم بحل المعادلة لـ $y$:
$x + 5 = 6y$
$\frac{x + 5}{6} = y$

لذا، الدالة العكسية $h^{-1}(x)$ هي:
$h^{-1}(x) = \frac{x + 5}{6}$

لحل المسألة وإيجاد العكس التابع للدالة $h(x)$، سنقوم باتباع الخطوات التالية مع استخدام القوانين الأساسية للعمليات الرياضية:

1. تعريف الدوال:
   معرفة تعبيرات الدوال المعطاة:
   $f(x) = 3x + 4$
   $g(x) = 2x – 3$
   $h(x) = f(g(x))$

2. حساب $h(x)$:
   نستبدل $g(x)$ في $f(x)$، لأن $h(x)$ هي ناتج دمج $f(x)$ و $g(x)$.
   $h(x) = f(g(x)) = f(2x – 3)$
   ونعرف أن $f(x) = 3x + 4$، لذا نستبدل:
   $h(x) = 3(2x – 3) + 4$

3. حساب $h(x)$:
   نقوم بالعمليات الحسابية للحصول على $h(x)$:
   $h(x) = 6x – 9 + 4 = 6x – 5$

4. إيجاد الدالة العكسية $h^{-1}(x)$:
   سنقوم بتبديل $x$ و $y$ في المعادلة $h(x)$ ومن ثم حلها لـ $y$، وهذا يعني أننا سنبدل بين $x$ و $y$ في المعادلة $h(x)$ ونقوم بحلها لـ $x$.

5. تبديل $x$ و $y$ في $h(x)$:
   $x = 6y – 5$

6. حل المعادلة لـ $y$:
   $x + 5 = 6y$
   $\frac{x + 5}{6} = y$

7. الدالة العكسية $h^{-1}(x)$:
   بالتالي، الدالة العكسية $h^{-1}(x)$ هي:
   $h^{-1}(x) = \frac{x + 5}{6}$

القوانين المستخدمة تتضمن قوانين الدوال والعمليات الرياضية الأساسية مثل قانون التعويض وقوانين الجمع والطرح والضرب والقسمة. كما استخدمنا مفهوم الدوال التكاملية والعكسية للحصول على الحل النهائي.