حل مسألة الدوال العكسية (مسألة رياضيات)

نفترض أن $f(x) = \frac{3}{2-x}$. إذا كان $g(x) = \frac{1}{f^{-1}(x)} + 9$، فما هو قيمة $g(3)$؟

لنبدأ بحساب $f^{-1}(x)$، وهو الدالة العكسية لـ $f(x)$.

نبدأ بتعويض $y$ بـ $f(x)$ في المعادلة $y = \frac{3}{2-x}$ ونقوم بحلها للحصول على $x$، ثم نقوم بتبديل مكان $x$ و $y$ في النهاية.

$y = \frac{3}{2-x}$

نقوم بتبديل $y$ بـ $x$ و $x$ بـ $y$ كالتالي:

$x = \frac{3}{2-y}$

الآن نقوم بحل المعادلة السابقة للحصول على $f^{-1}(x)$:

$x(2-y) = 3$
$2x – xy = 3$
$-xy = 3 – 2x$
$xy = 2x – 3$
$y = \frac{2x – 3}{x}$

إذا، $f^{-1}(x) = \frac{2x – 3}{x}$.

الآن، نستخدم $f^{-1}(x)$ لحساب $g(3)$.

$g(x) = \frac{1}{f^{-1}(x)} + 9$

نستبدل $x$ بـ $3$ في $g(x)$:

$g(3) = \frac{1}{f^{-1}(3)} + 9$

نعرف أن $f^{-1}(3)$ هو القيمة التي يتساوى فيها $f^{-1}(x)$ مع $3$. لذا، نقوم بتعويض $x$ بـ $3$ في $f^{-1}(x)$:

$f^{-1}(3) = \frac{2 \cdot 3 – 3}{3} = \frac{6 – 3}{3} = \frac{3}{3} = 1$

الآن نستخدم هذا الناتج لحساب $g(3)$:

$g(3) = \frac{1}{1} + 9 = 1 + 9 = 10$

إذا، $g(3) = 10$.

بالطبع، دعني أوضح المسألة بمزيد من التفاصيل والقوانين المستخدمة في الحل.

المسألة تتعلق بالدوال والدوال العكسية، وهنا هي التفاصيل:

الدالة $f(x) = \frac{3}{2-x}$ هي دالة رياضية تقوم بتعيين قيمة $y$ لكل قيمة $x$ معينة. في هذه الحالة، إذا كان $x$ يقارب $2$، فإن الدالة تصبح غير معرفة نظراً للقسمة على صفر.

لحل هذه المسألة، نحتاج أولاً إلى حساب الدالة العكسية $f^{-1}(x)$، والتي تعكس العلاقة بين القيم $x$ و $y$ في الدالة الأصلية.

لحساب الدالة العكسية، نقوم بتبديل القيم $x$ و $y$ في الدالة الأصلية، ثم نقوم بحل المعادلة للحصول على $y$ بدلاً من $x$. وهذه الخطوة تعتمد على خاصية الدوال العكسية.

بمجرد حساب $f^{-1}(x)$، يمكننا استخدامها في تعريف الدالة الثانية $g(x) = \frac{1}{f^{-1}(x)} + 9$.

لحساب قيمة $g(3)$، نقوم بتعويض $x$ بقيمة $3$ في الدالة $g(x)$ ونحسب الناتج.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. قوانين الدوال العكسية.
2. قوانين التعويض والحساب في الدوال الرياضية.
3. قانون القسمة والضرب في الكسور.

التفاصيل الأكثر دقة في الحساب تعتمد على تطبيق هذه القوانين بدقة وصحة للوصول إلى الإجابة الصحيحة، وهي جزء أساسي من عملية حل المسائل الرياضية.