حل مسألة الدوال الصحيحة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي البحث عن جميع القيم الممكنة لـ $x$ التي تحقق المعادلة التالية:
$\left\lfloor \left\lfloor 2x \right\rfloor – \frac{1}{2} \right\rfloor = \left\lfloor x + X \right\rfloor.$

حيث أن الإجابة المعلومة للمسألة هي $\left[\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right)$، ونحتاج إلى معرفة قيمة المتغير المجهول $X$.

لنقم بفك العبارة وحلها:

لنبدأ بالتحليل الدقيق للمعادلة، بدايةً من اليمين:
$\left\lfloor x + X \right\rfloor$

هذا يعني أننا نأخذ الجزء الصحيح من $x + X$. والآن نتحقق من الجزء الأيسر للمعادلة:
$\left\lfloor 2x \right\rfloor – \frac{1}{2}$

هنا، نقوم بضرب $x$ في 2 ومن ثم نأخذ الجزء الصحيح من الناتج، ثم نطرح 0.5.

الآن، للعثور على القيم التي تحقق المساواة، يجب أن نقوم بتحليل القيم داخل الأقواس الكبيرة (الأقواس الأيسر) بدقة.

لنحل تلك المعادلة:

إذا كانت $x$ بين $2.5$ و $3$، فإن $\lfloor 2x \rfloor$ سيكون $5$، وبالتالي $\lfloor 2x \rfloor – \frac{1}{2}$ سيكون $4.5$، وبالتالي $\lfloor \lfloor 2x \rfloor – \frac{1}{2} \rfloor$ سيكون $4$.

بما أن $x + X$ يجب أن يكون أقل من $3$ وأكبر من $2.5$، يجب أن يكون $X$ يساوي $-0.5$ ليجعل $x + X$ يكون أقل من $3$ ولكن يتعادل مع $2.5$.

إذاً، الإجابة هي $X = -0.5$.

لحل المسألة، دعونا نستعرض الخطوات بالتفصيل:

1. تحليل المعادلة: نبدأ بفهم المعادلة والتحقق من المتغيرات المعطاة. المعادلة تتضمن استخدام الدالة الكسرية $\lfloor \cdot \rfloor$ التي تقوم بإرجاع أكبر عدد صحيح لا يتجاوز العدد الذي تم إدخاله. في هذه المسألة، يُمثل $x$ المتغير الذي نبحث عن قيمه، و $X$ هو المتغير الذي نريد حسابه.

2. استخدام القوانين الرياضية: في هذه المسألة، نحتاج إلى فهم كيفية عمل دالة الأرضية $\lfloor \cdot \rfloor$ وتأثيرها على الأعداد المختلطة. نستخدم قوانين الدوال الصحيحة وتأثيرها على الأعداد الحقيقية.

3. حساب الأعداد الصحيحة المحيطة: لحل هذا النوع من المسائل، نحتاج إلى فهم كيفية تأثير عمليات الدوال الصحيحة على الأعداد الحقيقية. في هذه المسألة، نحتاج إلى تحديد الأعداد الصحيحة المحيطة بالأعداد الحقيقية المعطاة.

4. تطبيق القوانين على المسألة المحددة: بعد فهم القوانين والدوال المستخدمة، نقوم بتطبيقها على المسألة المحددة لحساب القيم المطلوبة.

5. التحقق من الإجابة: يُنصح دائمًا بالتحقق من الإجابة النهائية للتأكد من صحتها ومطابقتها للشروط المعطاة في المسألة.

باستخدام هذه الخطوات، نستطيع حل المسألة بدقة وفهم عملية الحل بشكل كامل.