حل مسألة الدوال الحقيقية (مسألة رياضيات)

لنعيد كتابة المعادلة المعطاة بشكل مترجم:

لدالة $f(x)$ التي تأخذ الأعداد الحقيقية الإيجابية إلى الأعداد الحقيقية، نعطي:
$xf(y) – yf(x) = f \left( \frac{x}{y} \right)$
لكل الأعداد الحقيقية الإيجابية $x$ و $y$.

"Link To Share" هو منصتك التسويقية الشاملة لتوجيه جمهورك إلى كل ما تقدمه بسهولة واحترافية.

• صفحات بروفايل (Bio) عصرية ومخصّصة • تقصير روابط مع تحليلات متقدّمة • إنشاء رموز QR تفاعلية بعلامة تجارية • استضافة مواقع ثابتة وإدارة أكواد • أدوات ويب متنوعة لتنمية أعمالك

ابدأ الآن وارتقِ بمشاريعك!

الآن سنقوم بحل هذه المعادلة:

من المعطى نرى أنه إذا قمنا بتعيين $x = y$، نحصل على:
$xf(x) – xf(x) = f(1)$
$0 = f(1)$

الآن لنقم بتبسيط المعادلة المعطاة عن طريق استبدال $y$ بـ $\frac{x}{y}$:

$xf(y) – yf(x) = f \left( \frac{x}{y} \right)$
$xf(y) – yf(x) = f \left( \frac{1}{y} \right)$
$xf(y) – yf(x) = f(y^{-1})$

الآن لنقم بتعيين بعض القيم لـ $x$ و $y$ لنرى ما يمكن أن نفعله:

1. إذا قمنا بتعيين $x = 1$ و $y = 1$، فإن:
   $f(1) – f(1) = f(1)$
   $0 = f(1)$
   إذا $f(1) = 0$.

2. إذا قمنا بتعيين $x = t$ و $y = \frac{1}{t}$، حيث $t$ عدد حقيقي إيجابي، فإن:
   $tf \left( \frac{1}{t} \right) – \frac{1}{t}f(t) = f(t)$
   $tf(t) – \frac{1}{t}f(t) = f(t)$
   $\left( t – \frac{1}{t} \right) f(t) = f(t)$
   $t – \frac{1}{t} = 1$
   $t^2 – 1 = t$
   $t^2 – t – 1 = 0$

هذه المعادلة ذات جذرين هما:
$t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

بما أن الدالة $f$ لديها تناظر بالنسبة للقيمة المطلقة لـ $t$، فإننا نحتاج فقط إلى القيم الإيجابية لـ $t$.

لذا يمكننا تلخيص النتائج على النحو التالي:

$t = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

المعادلة الثانية:

$t = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$

الآن، لدينا القيم المحتملة لـ $f(1)$، وهي $0$، ولدينا القيم المحتملة لـ $f(t)$، وهي $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$، و $\frac{1 – \sqrt{5}}{2}$، وبما أن $f(100) = 100f(1)$، فإن القيم المحتملة لـ $f(100)$ هي:

$0, \quad 100 \times \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad 100 \times \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$

يمكننا كتابتها بشكل مترابط على النحو التالي:

$0, \quad 50(1 + \sqrt{5}), \quad 50(1 – \sqrt{5})$

هذه هي جميع القيم الممكنة لـ $f(100)$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم عدة خطوات ونستند إلى بعض القوانين الرياضية الأساسية:

1. استخدام الشروط المعطاة: نستخدم الشرط المعطى في المسألة، الذي يتضمن الدالة $f(x)$ والعلاقة بين قيمتها لأزواج محددة من الأعداد.

2. تحليل العلاقات بين القيم: نحاول فهم العلاقات بين قيم الدالة لمجموعات محددة من الأعداد ونحاول استخدام هذه العلاقات لتحديد قيم الدالة في أعداد أخرى.

3. استخدام التبسيط الجبري: نستخدم التبسيط الجبري لتحويل المعادلات الرياضية إلى أشكال تسهل فهمها وحلها.

الآن سنقوم بتفصيل الحل:

أولاً، بما أن المسألة تعطينا علاقة بين قيم الدالة $f(x)$ لثلاثة أعداد مختلفة $x$ و $y$ و $\frac{x}{y}$، فسنستخدم هذه العلاقة لفهم سلوك الدالة.

نبدأ بوضع $x = y = 1$ في العلاقة المعطاة، ونجد أن $f(1) – f(1) = f(1)$، ومن هنا نعرف أن $f(1) = 0$.

ثم، نستخدم العلاقة المعطاة مرة أخرى لتحديد قيمة $f(t)$، حيث $t$ هو عدد حقيقي إيجابي، ونجد أن $f(t)$ يحسب كالتالي:

$f(t) = \frac{t – \frac{1}{t}}{t} f(t) = \frac{1}{t}f(t) + f(1)$

حيث حللنا العلاقة بتعيين $x = t$ و $y = \frac{1}{t}$ واستخدام قيمة $f(1) = 0$ التي حصلنا عليها سابقًا.

نستخدم ترتيب بعض الأسطر والتبسيط الجبري للعلاقة للحصول على $f(t)$ بشكل أوضح.

بعد ذلك، نحل المعادلة التربيعية التي حصلنا عليها لـ $t$ للحصول على القيم المحتملة لـ $t$، وهي $\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

أخيرًا، نحسب قيمة $f(100)$ باستخدام العلاقة $f(100) = 100f(1)$ والقيم المحتملة لـ $f(1)$ التي حصلنا عليها، وبالتالي نحصل على القيم الممكنة لـ $f(100)$.

يُلاحظ أنه للتحليل الجيد للمسألة، يجب فهم العلاقات الرياضية المعطاة والاستعانة بالقوانين الأساسية للجبر والتحليل الرياضي لحلها بدقة وفهم.