حل مسألة الدوائر المتجاورة (مسألة رياضيات)

نفترض أن الشعاع الداخلي للمضمار (الدائرة الداخلية) هو $r$ قدم، والشعاع الخارجي (الدائرة الخارجية) هو $R$ قدم.

بما أن الدائرتين متحدبتين، يمكننا كتابة المعادلة التالية لمحيط الدائرة باستخدام العلاقة بين محيط الدائرة وقطرها:
$C = 2\pi r$

بالنظر إلى الشكل، نعلم أن فارق أطوال محيطي الدائرتين هو $10\pi$ قدم، لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$2\pi R – 2\pi r = 10\pi$

نقوم بتبسيطها عن طريق عاملة الـ$2\pi$ معاً:

$2\pi (R – r) = 10\pi$

الآن نقوم بقسمة الطرفين على $2\pi$ للتخلص منه في الجانب الأيسر من المعادلة:

$R – r = \frac{10\pi}{2\pi}$

$R – r = 5$

وبالتالي، عرض المضمار هو الفرق بين شعاع الدائرة الخارجية وشعاع الدائرة الداخلية، أي:

$Width = R – r = 5$

إذاً، عرض المضمار هو $5$ قدم.

في هذه المسألة، نواجه مشكلة في تحديد عرض المضمار بناءً على الفارق في محيط الدائرتين المتجاورتين. للتوصل إلى الحل، نستخدم العديد من المفاهيم الهندسية والرياضية.

القوانين المستخدمة:

1. محيط الدائرة: المحيط هو المسافة الإجمالية حول الدائرة. يتناسب المحيط مع قطر الدائرة بمعامل الـ$\pi$. للدائرة نستخدم العلاقة التالية: $C = 2\pi r$ حيث $C$ هو محيط الدائرة و $r$ هو شعاعها.

2. فارق محيط الدائرتين: الفارق بين محيطي الدائرتين يساوي الفرق بين الأقطار الموافقة لهما. في هذه الحالة، الفارق يساوي $10\pi$ قدم.

3. العلاقة بين الأقطار والشعاع: عندما نكون متأكدين أن الدائرتين متحدبتين، يمكننا استخدام العلاقة بين أقطار الدائرتين وبين فارق محيطيهما.

الآن، دعنا نحل المسألة:

لنفترض أن شعاع الدائرة الداخلية يساوي $r$ قدم، وشعاع الدائرة الخارجية يساوي $R$ قدم.

بما أن الفارق بين محيطي الدائرتين هو $10\pi$ قدم، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$2\pi R – 2\pi r = 10\pi$

نبسط المعادلة بقسمة الجانبين على $2\pi$، ونحصل على:

$R – r = \frac{10\pi}{2\pi} = 5$

وهنا يكمن الحل. إذاً، عرض المضمار هو فقط فرق الشعاعين، وهو $5$ قدم.

يمكن تفسير النتيجة بأن عرض المضمار يتأثر بفارق محيط الدائرتين فقط ولا يعتمد على القيم الفعلية لمحيط الدائرة.