حل مسألة الدالة الكوادراتية للعثور على قيمة c (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المطلوبة تتعلق بإيجاد أقصى قيمة ممكنة للمتغير $c$ بحيث تتضمن الدالة $f(x) = x^2 – 5x + c$ الرقم 1 في نطاقها.

لنبدأ بتحليل الدالة. الدالة $f(x)$ هي دالة من الدرجة الثانية، وتأخذ شكل متغيراتي مع المتغير $x$. بالنظر إلى الدالة، نرى أنها عبارة عن متباينة مربعية، حيث يتغير معامل $x^2$ بشكل مباشر تأثير الدالة. في هذه الحالة، المعامل $x^2$ يكون موجباً، مما يعني أن الدالة تميل للأعلى عندما تكون القيمة الخاصة بـ $x^2$ كبيرة، وتميل للأسفل عندما تكون القيمة الخاصة بـ $x^2$ صغيرة.

لنحاول إيجاد القيم الممكنة لـ $c$ بحيث تتضمن الدالة قيمة 1 في نطاقها. هذا يعني أنه يجب أن يكون هناك حل للمعادلة $f(x) = 1$.

باستخدام الدالة $f(x) = x^2 – 5x + c$، يصبح لدينا المعادلة التالية:

$x^2 – 5x + c = 1$

نريد أن نجد القيم الممكنة لـ $c$، لذلك سنقوم بترتيب المعادلة بالنسبة للمتغيرات وإيجاد الشروط التي يجب أن تتحقق لتكون هناك حلول.

نقوم بطرح 1 من الجانب الأيمن للمعادلة للحصول على:

$x^2 – 5x + c – 1 = 0$

الآن، نريد أن نجد القيم الممكنة للمتغير $x$ بحيث تكون هذه المعادلة قابلة للحل. بما أنها معادلة من الدرجة الثانية، فإنها قابلة للحل إذا كان لدينا حلول حقيقية. وحتى يكون لدينا حل، يجب أن يكون المحلل $\Delta$ (القرصنة) موجباً.

لمعادلة من الشكل $ax^2 + bx + c = 0$، يكون $\Delta = b^2 – 4ac$.

بالتطبيق في حالتنا:

$\Delta = (-5)^2 – 4(1)(c – 1)$

$\Delta = 25 – 4(c – 1)$

$\Delta = 25 – 4c + 4$

$\Delta = 29 – 4c$

الآن، نريد أن يكون $\Delta$ موجبًا لضمان وجود حلول حقيقية. بالتالي، يجب أن يكون التعبير $29 – 4c > 0$.

نحل المعادلة التالية للحصول على القيم الممكنة لـ $c$:

$29 – 4c > 0$

من هنا، نلاحظ أن:

$4c < 29$

$c < \frac{29}{4}$

لكن نحتاج أن نتأكد من أن الدالة تقوم بتضمين العدد 1 في نطاقها. لذلك، عندما نعود إلى المعادلة الأصلية $x^2 – 5x + c = 1$، نقوم بإدراج أقصى قيمة لـ $c$ فيها.

$x^2 – 5x + \frac{29}{4} = 1$

نحل هذه المعادلة للعثور على القيم الممكنة لـ $x$، وبالتالي، نتأكد مما إذا كانت الدالة تحتوي على 1 في نطاقها.

لحل المعادلة، يمكن استخدام طرق مثل الكماليات، الجذر التربيعي، أو طرق أخرى. بمجرد الحصول على القيم الممكنة لـ $x$، نتأكد من أن الدالة تحتوي على الرقم 1 في نطاقها.

إذا كانت الدالة تتضمن 1 في نطاقها بالفعل، فإن أقصى قيمة ممكنة لـ $c$ ستكون $\frac{29}{4}$، وإذا لم تكن، سنقوم بتقييم الحالة بشكل مختلف.

لحل مسألة العثور على أقصى قيمة ممكنة للمتغير $c$ بحيث تتضمن الدالة $f(x) = x^2 – 5x + c$ الرقم 1 في نطاقها، سنقوم بتطبيق مبادئ الجبر ونستنتج بعض القوانين الأساسية للحساب.

الخطوات المتبعة:

1. إيجاد المعادلة التي تعبر عن الشرط المطلوب: نريد أن نجد القيم الممكنة للمتغير $c$ بحيث تتضمن الدالة $f(x)$ الرقم 1 في نطاقها. لذا نقوم بإعداد المعادلة $f(x) = x^2 – 5x + c = 1$.

2. حساب قيمة $\Delta$ وشرط وجود حلول حقيقية: نقوم بحساب قيمة $\Delta$ من المعادلة الكوادراتية العامة $ax^2 + bx + c = 0$. هذه القيمة تحدد ما إذا كانت هناك حلول حقيقية للمعادلة. إذا كان $\Delta > 0$، فهذا يعني أن لدينا حلول حقيقية.

3. تحليل القيم الممكنة لـ $c$: نستخدم شروط الجذور الحقيقية للعثور على القيم الممكنة لـ $c$، حيث نضمن أن $\Delta > 0$.

4. التحقق من وجود الرقم 1 في نطاق الدالة: بعد العثور على القيم الممكنة لـ $c$، نقوم بالتحقق مما إذا كانت الدالة تتضمن الرقم 1 في نطاقها عند استخدام أقصى قيمة ممكنة لـ $c$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الجذور الحقيقية: عندما يكون $\Delta > 0$، فإن لدينا حلول حقيقية لمعادلة الدرجة الثانية.

2. قوانين الحساب الجبري: نستخدم قوانين الحساب الجبري لتحويل المعادلات وحساب القيم بطريقة صحيحة.

3. قوانين الدوال الرياضية: نحن نعتمد على الخصائص والسلوك المعروف للدوال الرياضية، مثل الدوال الكوادراتية، لفهم كيفية تأثير المعاملات على شكل الدالة ونطاقها.

4. شروط الحلول الحقيقية للمعادلة الكوادراتية: نحتاج إلى التحقق من شروط وجود الحلول الحقيقية للمعادلة الكوادراتية، وهو ما يتطلب تحليلًا دقيقًا لقيمة $\Delta$ وتطبيقها في السياق المعطى.

تطبيق هذه القوانين والخطوات يساعدنا في حل المسألة بدقة ويضمن أننا نفهم الظروف والشروط التي تحكم وجود الحلول وتأثيرها على النتيجة النهائية.