حل مسألة الدالة الرياضية (مسألة رياضيات)

الدالة $f(x)$ تستوفي الشرط التالي:
$b^2 f(a) = a^2 f(b)$
لكل الأعداد الحقيقية $a$ و $b$.
إذا كانت $f(2) \neq X$، نريد إيجاد قيمة المتغير المجهول $X$ عندما نعرف أن
$\frac{f(5) – f(1)}{f(2)} = 6$
نريد حساب قيمة $X$.
لنبدأ بتطبيق الشرط المعطى على بعض القيم لنفهم الدالة بشكل أفضل.
عند $a = 2$ و $b = 1$ ، يصبح الشرط:
$1^2 f(2) = 2^2 f(1)$
وهذا يعني أن:
$f(2) = 4f(1)$
وبالتالي ، يمكننا استبدال $f(2)$ بـ $4f(1)$ في المعادلة الثانية.
الآن لدينا:
$\frac{f(5) – f(1)}{4f(1)} = 6$
بما أننا نعرف $f(2) \neq X$ و $f(2) = 4f(1)$ ، فإننا نستطيع حساب $f(1)$ بسهولة.
عند $a = 5$ و $b = 1$ ، يصبح الشرط:
$1^2 f(5) = 5^2 f(1)$
وبالتالي ، يمكننا حساب $f(5)$ بالنسبة لـ $f(1)$:
$f(5) = 25f(1)$
الآن نستطيع استخدام قيمة $f(1)$ لحل المعادلة الأصلية.
نستخدم $f(2) = 4f(1)$ في الشرط:
$1^2 (25f(1)) = 5^2 f(2)$
وبالتالي:
$25f(1) = 25f(1)$
هذا يعني أن $f(1)$ مرتبطة بنفسها وليس لدينا قيمة جديدة لها.
بالتالي ، لا يؤثر الشرط المعطى على قيمة $X$ لأننا لم نستخدم $f(2)$ بشكل مباشر في الحسابات.
إذاً ، القيمة المفقودة $X$ لا تتأثر بالشرط المعطى، وبالتالي تظل قيمة مجهولة.

لحل المسألة وتحديد قيمة المتغير المجهول $X$، دعنا نستخدم الشرط المعطى:
$b^2 f(a) = a^2 f(b)$
هذا الشرط يقول إن ناتج ضرب مربع قيمة إحدى الأعداد في قيمة الدالة للعدد الآخر يتساوى مع ناتج ضرب مربع العدد الأول في قيمة الدالة للعدد الثاني.
نبدأ بتحديد قيمة $f(1)$ باستخدام الشرط عند $a = 5$ و $b = 1$:
$1^2 f(5) = 5^2 f(1)$
ومنها نحصل على:
$f(5) = 25f(1)$
ثم، نستخدم الشرط عند $a = 2$ و $b = 1$ لتحديد قيمة $f(2)$:
$1^2 f(2) = 2^2 f(1)$
ومنها نحصل على:
$f(2) = 4f(1)$
الآن، نحسب الفرق بين $f(5)$ و $f(1)$:
$f(5) – f(1) = 25f(1) – f(1) = 24f(1)$
والآن نستخدم الشرط المعطى في السؤال:
$\frac{f(5) – f(1)}{f(2)} = 6$
باستبدال القيم التي حسبناها:
$\frac{24f(1)}{4f(1)} = 6$
ومن ذلك نجد أن $f(2)$ ليس لها تأثير على القيمة المطلوبة $X$، لأنه تم إلغاءها.
إذاً، نجد أن القيمة المجهولة $X$ لا تتأثر بالشرط المعطى، ولا يمكن تحديدها من خلال المعطيات المعطاة في السؤال.

القوانين المستخدمة:

1. قانون استبدال القيم: يمكن استبدال قيمة الدالة في المعادلة باستخدام القيم التي تم حسابها من معادلات أخرى.
2. قانون الضرب: يمكن ضرب جانبي معادلة في نفس العدد دون تأثير على الحل.
3. قانون الاستبدال: يمكن استبدال قيمة متغير بقيمتها المحسوبة من معادلات أخرى في المعادلات الأخرى.