حل مسألة الدالة الرباعية بتكميل المربع (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي البحث عن أكبر قيمة للمتغير $c$ بحيث يكون $-2$ ضمن نطاق الدالة $f(x) = x^2 + 3x + c$.

للعثور على القيمة الكبرى لـ $c$، يمكننا البدء بتحديد شروط الوجود للقيمة $-2$ ضمن نطاق الدالة. يكون ذلك عندما تكون المعادلة $f(x) = x^2 + 3x + c = -2$ قابلة للحل.

لحساب هذا، يمكننا تكميل المربع بالنسبة للمعادلة التي تكون في شكل الفعل الثنائي الكامل، والتي تأخذ هيئة $f(x) = (x + a)^2 + b$، حيث $a$ و $b$ هما ثوابت.

نقوم بتكميل المربع لـ $f(x) = x^2 + 3x + c$:

$f(x) = x^2 + 3x + c = (x + \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{4} + c$

الآن، نضع المعادلة في شكلها المكمل للمربع ونعاد ترتيبها:

$(x + \frac{3}{2})^2 + (c – \frac{9}{4}) = -2$

الآن نجلب الجزء الثابت إلى الجهة الأخرى من المعادلة:

$(x + \frac{3}{2})^2 = -2 – (c – \frac{9}{4})$

لاحظ أن الجهة اليمنى الآن يجب أن تكون موجبة لأن المربع لا يمكن أن يكون سالبًا. لذا نتأكد من أن الجزء اليمنى أكبر من صفر:

$-2 – (c – \frac{9}{4}) > 0$

نقوم بحساب هذا ونحل للحصول على قيم ممكنة لـ $c$:

$-2 – c + \frac{9}{4} > 0$

نقوم بترتيبها وحسابها:

$-c + \frac{1}{4} > 2$

$-c > \frac{7}{4}$

$c < -\frac{7}{4}$

لكن نحن نبحث عن أكبر قيمة ممكنة لـ $c$، لذا نقوم بضرب المعادلة في -1 للحصول على:

$c > \frac{7}{4}$

إذا كانت $c$ أكبر من $\frac{7}{4}$، يكون $-2$ ضمن نطاق الدالة. لذا، القيمة الكبرى لـ $c$ هي $\frac{7}{4}$.

لحل هذه المسألة، بدأنا بالبحث عن قيمة الـ $c$ بحيث تكون $-2$ ضمن نطاق الدالة $f(x) = x^2 + 3x + c$. قمنا باتباع الخطوات التالية:

1. تكميل المربع:
   بدأنا بتكميل المربع للدالة $f(x) = x^2 + 3x + c$. عندما قمنا بتكميل المربع، استخدمنا القاعدة التي تقول إنه لدالة من الشكل $f(x) = ax^2 + bx + c$، يمكن تكميل المربع عن طريق إضافة $(\frac{b}{2})^2$ إلى المعامل الرئيسي.

2. ترتيب المعادلة:
   بعد تكميل المربع، قمنا بترتيب المعادلة للوصول إلى شكل يسهل حسابه.

3. جعل الجزء اليميني موجبًا:
   حيث قمنا بضرب المعادلة في $-1$ للتأكد من أن الجزء اليميني يكون موجبًا، لأن المربع لا يمكن أن يكون سالبًا.

4. حساب القيم:
   حسبنا القيم المطلوبة للـ $c$ من المعادلة المعدلة.

5. التحقق من الشروط:
   قمنا بالتحقق من أن القيمة المحسوبة للـ $c$ تحقق الشرط الذي يجعل $-2$ ضمن نطاق الدالة.

6. توضيح الحل:
   أكملنا الحل بتوضيح أن القيمة الكبرى للـ $c$ هي $\frac{7}{4}$.

القوانين المستخدمة:

1. تكميل المربع:
   استخدمنا قاعدة تكميل المربع لتحويل الدالة إلى شكل قياسي يسهل الحساب.

2. ترتيب المعادلة:
   قمنا بترتيب المعادلة بطريقة تجعلها أكثر وضوحًا ويسهل حساب القيم.

3. جعل الجزء اليميني موجبًا:
   قمنا بضرب المعادلة في $-1$ للتأكد من أن الجزء اليميني يكون موجبًا.

4. حساب القيم:
   قمنا بحساب القيم المطلوبة باستخدام التعويض والحسابات الجبرية.

5. التحقق من الشروط:
   قمنا بالتحقق من الشرط الذي يجعل $-2$ ضمن نطاق الدالة للتأكد من صحة الحل.

هذه الخطوات تمثل أسلوبًا تفصيليًا ومفصلًا لحل المسألة الحسابية باستخدام القوانين والمفاهيم الرياضية.