حل مسألة الدالة التربيعية: قيمة النقطة المرتقبة (مسألة رياضيات)

نُعطى الدالة التربيعية $y = ax^2 + bx + c$ التي تستوفي الشروط التالية: (1) أقصى قيمة ل $y$ هي 5، وتحدث عند $x = 3$. (2) المنحنى يمر عبر النقطة $(0،-13)$. إذا كان المنحنى يمر أيضًا عبر النقطة $(4،m)$، فما قيمة $m$؟

لحل هذه المسألة، سنستخدم المعلومات المعطاة لإيجاد قيم الثوابت $a$ و $b$ و $c$ في الدالة التربيعية. ثم، سنقوم بتطبيق الشرط الثالث لحساب قيمة $m$.

لأول شرط، نعلم أن النقطة العظمى تحدث عند $x = 3$ وأن القيمة العظمى هي 5. يعني ذلك أن النقطة $(3،5)$ تقع على المنحنى. هذا يعطينا معادلة:
$5 = a(3)^2 + b(3) + c$
$5 = 9a + 3b + c \quad (1)$

للشرط الثاني، نعلم أن النقطة $(0،-13)$ تقع على المنحنى، لذا:
$-13 = a(0)^2 + b(0) + c$
$-13 = c \quad (2)$

الآن، لحساب $a$ و $b$، يمكننا استخدام المعلومات التي لدينا عن النقطة $(3،5)$:
$5 = 9a + 3b – 13 \quad \text{(من المعادلات 1 و 2)}$
$18 = 9a + 3b$
$6 = 3a + b \quad (3)$

الآن نعرف أن المنحنى يمر عبر النقطة $(4،m)$، لذا يجب أن تكون هذه النقطة على الدالة التربيعية. لذا:
$m = a(4)^2 + b(4) + c$
$m = 16a + 4b + c \quad (4)$

الآن، لحساب $m$، يجب علينا حل المعادلات (1)، (2)، (3) للعثور على قيم $a$ و $b$ و $c$، ثم نستخدم القيم التي نحصل عليها في المعادلة (4) لحساب $m$.

من المعادلات (1) و (2)، نعرف أن $c = -13$، ومن المعادلة (3)، نعرف أن $b = 6 – 3a$.

وباستخدام هذه القيم في المعادلة (1)، نحصل على:
$5 = 9a + 3(6 – 3a) – 13$
$5 = 9a + 18 – 9a – 13$
$5 = 5$

لذا، يبدو أن هناك خطأ في المعادلات. يجب التحقق منها مرة أخرى وإصلاح الأخطاء الواضحة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم القوانين والمفاهيم التالية:

1. قانون الدالة التربيعية: الدالة التربيعية تمثلها الصيغة العامة $y = ax^2 + bx + c$ حيث $a$، $b$، و $c$ هي الثوابت.
2. نقطة العظمى: النقطة التي تكون فيها الدالة التربيعية على أقصى قيمة. للدالة التربيعية $y = ax^2 + bx + c$، يحدث أقصى قيمة عند $x = -\frac{b}{2a}$.
3. معادلة المنحنى: عندما تمر النقطة $(x, y)$ عبر الدالة التربيعية، يتم استخدام القيم المعطاة لحساب الثوابت $a$، $b$، و $c$.
4. تمرير النقطة: عندما تمر نقطة معينة عبر الدالة التربيعية، يمكن استخدام هذه النقطة لحساب قيمة معينة من الدالة.

الآن، دعنا نقوم بحل المسألة:

الشروط المعطاة:

1. أقصى قيمة ل $y$ هي 5، وتحدث عند $x = 3$.
2. المنحنى يمر عبر النقطة $(0،-13)$.

للبداية، نستخدم الشروط المعطاة لحساب الثوابت $a$، $b$، و $c$ في الدالة التربيعية.

من الشرط الأول، نستخدم أن $y = 5$ عند $x = 3$، لذا:
$5 = a(3)^2 + b(3) + c$
$5 = 9a + 3b + c \quad (1)$

من الشرط الثاني، نستخدم أن $y = -13$ عند $x = 0$، لذا:
$-13 = a(0)^2 + b(0) + c$
$-13 = c \quad (2)$

الآن، نستخدم المعادلتين (1) و (2) لحساب $a$ و $b$:

من المعادلتين (1) و (2)، نعرف أن $c = -13$، ومن المعادلة (1)، نحصل على:
$5 = 9a + 3b – 13 \quad \text{(من المعادلات 1 و 2)}$
$18 = 9a + 3b$
$6 = 3a + b \quad (3)$

الآن، لحساب قيمة $m$، نستخدم المعادلة العامة للدالة التربيعية بعد تحديد القيم ل $a$ و $b$ و $c$. النقطة المطلوبة هي $(4،m)$، لذا:
$m = a(4)^2 + b(4) + c$
$m = 16a + 4b + c \quad (4)$

الآن، باستخدام قيم $a$ و $b$ و $c$ التي حسبناها، يمكننا حساب $m$ بواسطة المعادلة (4).

لحل المعادلات (1) و (2) و (3) و (4)، يمكننا استخدام الجبر وتبسيط المعادلات للعثور على القيم المطلوبة للمتغيرات. باستخدام هذه القيم، يمكننا حساب قيمة $m$ بدقة.