حل مسألة الخط الفضائي: قيمة k (مسألة رياضيات)

نطلب إيجاد قيمة $k$ التي تجعل النقطة $k\mathbf{a} + \frac{3}{4}\mathbf{b}$ تقع على نفس الخط الذي يمر من خلال نقطتي الفضاء $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$.

لنفترض أن النقطة $k\mathbf{a} + \frac{3}{4}\mathbf{b}$ تقع على الخط الذي يمر من خلال $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$. هذا يعني أنه يجب أن يكون هناك عامل $t$ بحيث يتناسب الفرق بين $\mathbf{b}$ و $\mathbf{a}$ بالنسبة لنقطة $k\mathbf{a} + \frac{3}{4}\mathbf{b}$. بمعنى آخر، يجب أن يكون:

$k\mathbf{a} + \frac{3}{4}\mathbf{b} = (1 – t)\mathbf{a} + t\mathbf{b}$

يُلاحظ أن $t = 1$ يمثل النقطة $\mathbf{b}$ و $t = 0$ يمثل النقطة $\mathbf{a}$. الآن، دعونا نقارن بين المكونات المتناسبة:

$ka_1 + \frac{3}{4}b_1 = (1 – t)a_1 + tb_1$
$ka_2 + \frac{3}{4}b_2 = (1 – t)a_2 + tb_2$
$ka_3 + \frac{3}{4}b_3 = (1 – t)a_3 + tb_3$

نحل هذه الأعداد للعثور على $k$:

$ka_1 + \frac{3}{4}b_1 = a_1 – ta_1 + tb_1$
$ka_2 + \frac{3}{4}b_2 = a_2 – ta_2 + tb_2$
$ka_3 + \frac{3}{4}b_3 = a_3 – ta_3 + tb_3$

نلاحظ أن كل قيمة $a_i$ و $b_i$ تظهر في المعادلات. نعين لها القيم المعروفة:

$a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_3 = 1$
$b_1 = 1, \quad b_2 = 1, \quad b_3 = 1$

الآن، نستخدم هذه المعلومات لحل المعادلات:

$k + \frac{3}{4} = 1 – t + t$
$k + \frac{3}{4} = 1$
$k = \frac{1}{4}$

لذا، القيمة التي تجعل النقطة $k\mathbf{a} + \frac{3}{4}\mathbf{b}$ تقع على الخط الذي يمر من خلال $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ هي $k = \frac{1}{4}$.

لحل هذه المسألة، نستخدم القانون الذي ينص على أن نقطة تقع على نفس الخط الذي يمر بين نقطتين إذا وفقت نسبة معينة من الفرق بين تلك النقطتين. يُمكن تمثيل هذا القانون بشكل رياضي على النحو التالي:

إذا كانت النقطة $P$ تقع على الخط الذي يمر بين النقطتين $A$ و $B$، فإنه يجب أن يتوافق النسب بين فروقات المكونات الفردية لـ $P$ بالنسبة لـ $A$ و $B$.

القانون المستخدم هنا يُمثل الفكرة الرئيسية في الجبر الخطي، حيث يستخدم لتمثيل الخصائص الهندسية للمستويات والخطوط في الفضاء.

بالنسبة للحل الخاص بنا، نستخدم هذا القانون لتطبيق النسبة المطلوبة بين نقطتين معروفتين ($\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$) للحصول على القيمة المجهولة ($k$).

بمعنى آخر، نستخدم الأفكار التالية:

1. التعبير عن نقطة على الخط بين نقطتين:
   نستخدم نقاط البداية والنهاية لتحديد خط، ثم نستخدم النسبة المطلوبة لوضع نقطة غير معروفة على هذا الخط.

2. المعادلات الخطية:
   نستخدم المعادلات لتعبير النقاط والنسب بينها، ونحل للمجهول للعثور على القيمة المطلوبة.

3. العمليات الجبرية:
   نقوم بالعمليات الجبرية الأساسية مثل الجمع والضرب والقسمة لتحليل العلاقات بين النقاط والمتغيرات.

باستخدام هذه الأدوات، نحل المعادلات المتعلقة بالنقاط والنسب للعثور على قيمة $k$ التي تمثل النقطة على الخط المطلوب.