حل مسألة الحركة الرأسية للكرة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تتعلق برمي كرة نحو الأسفل بسرعة مبدئية 24 قدمًا في الثانية من ارتفاع يبلغ 160 قدمًا عن سطح الأرض. الارتفاع يمثله المعادلة h = -16t^2 – 24t + 160، حيث h هو الارتفاع (بالقدم) و t هو الزمن (بالثواني) منذ لحظة رمي الكرة.

لحساب الزمن الذي يستغرقه الكرة لتصل إلى الأرض، نقوم بوضع h يساوي صفر، لأنها ستكون على سطح الأرض عند هذا الارتفاع. إذاً:

$-16t^2 – 24t + 160 = 0$

يمكن حل هذه المعادلة باستخدام الصيغة العامة لحل المعادلة التربيعية:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث المعاملات a و b و c تأخذ قيم المعادلة التربيعية العامة $ax^2 + bx + c = 0$.

في هذه الحالة، لدينا:

$a = -16, \quad b = -24, \quad c = 160$

وبتعويض هذه القيم في الصيغة:

$t = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 – 4(-16)(160)}}{2(-16)}$

$t = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 10240}}{-32}$

$t = \frac{24 \pm \sqrt{10736}}{-32}$

$t = \frac{24 \pm 104}{-32}$

لكننا نريد القيمة الإيجابية للزمن، لذا نختار الجذر الإيجابي:

$t = \frac{24 + 104}{-32}$

$t = \frac{128}{-32}$

$t = -4$

الزمن المستغرق لكرة القدم لتصل إلى الأرض هو 4 ثوانٍ.

تفاصيل الحل:

لحل هذه المسألة، استخدمنا معادلة الحركة الرأسية للكرة، حيث يتغير الارتفاع بمرور الوقت. المعادلة هي:

$h = -16t^2 – 24t + 160$

حيث:

• $h$ هو الارتفاع (بالقدم).
• $t$ هو الزمن (بالثواني).

نريد حساب الزمن الذي يستغرقه الكرة للوصول إلى الأرض، وهو الزمن عندما يكون الارتفاع $h = 0$، لأن هذا يعني أن الكرة وصلت إلى سطح الأرض.

وبالتالي، نقوم بحل المعادلة التربيعية:
$-16t^2 – 24t + 160 = 0$

استخدمنا صيغة الجذر التربيعي لحل المعادلة التربيعية:
$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث:

• $a = -16$
• $b = -24$
• $c = 160$

وضعنا هذه القيم في الصيغة وحسبنا الجذر الإيجابي للزمن.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الحركة الرأسية: يتمثل في المعادلة الرياضية $h = -16t^2 – 24t + 160$، حيث تعبر هذه المعادلة عن حركة الكرة باتجاه الأسفل نتيجة للجاذبية.

2. صيغة الجذر التربيعي: تستخدم لحساب القيم الحقيقية للمتغير عند حل المعادلة التربيعية.

3. المعادلة التربيعية: تُستخدم لتمثيل حركة الكرة وحساب الزمن الذي يستغرقها للوصول إلى موضع معين.

4. شرط الصفر: تعني أن الكرة وصلت إلى الأرض عندما يكون الارتفاع $h$ يساوي صفر.

5. الزمن الإيجابي: نختار الجذر الإيجابي لأننا نريد الزمن الذي يمثل وقتًا فعليًا وموجبًا.

بهذا الشكل، تمثل المسألة استخدام هذه القوانين والصيغ لحل مشكلة الحركة الرأسية للكرة التي تمثلها المعادلة المعطاة.