لنفترض أن $x$، $y$، و$z$ هي أعداد حقيقية غير سالبة بحيث $x + y + z = X$. يطلب منا إيجاد القيمة القصوى للتعبير $x + y^2 + z^3$.
لنحاول حل هذه المسألة باستخدام تقنيات الحد الأقصى. يتمثل الهدف في معرفة كيفية تحقيق أكبر قيمة ممكنة للتعبير المعطى عندما نعرف أن مجموع $x + y + z$ محدود.
لنقم بتطبيق تقنية التفكير في المتغيرات المعرفة، نلاحظ أن الأعداد $y$ و$z$ موجودة في التعبير بأسس مختلفة، وبما أن $y$ و$z$ هما غير سالبتين، فإن زيادة قيمة أي منهما ستؤدي إلى زيادة التعبير.
لذا، يمكننا أن نفترض أن إحدى الأسس، أو كليهما، تساوي صفر، لأن أي قيمة أكبر ستزيد من القيمة النهائية.
- إذا قمنا بتعيين $y = 0$، فسيصبح التعبير $x + z^3$.
- إذا قمنا بتعيين $z = 0$، فسيصبح التعبير $x + y^2$.
الآن، يمكننا التحقق من الشروط المطلوبة، وهي أن $x + y + z = X$. بالنظر إلى الحالتين السابقتين، يتضح أننا سنحتاج إلى تقسيم قيمة $X$ بين الأعداد المختارة بناءً على الحالة التي نختارها.
إذا اخترنا $y = 0$، فإن $x + z = X$، وإذا اخترنا $z = 0$، فإن $x + y = X$.
الآن نحن بحاجة إلى تحديد القيمة القصوى لكل من $x + z^3$ و $x + y^2$.
- للتعبير $x + z^3$، يجب أن نلاحظ أنه كلما زادت قيمة $z$، كلما زاد التعبير، لذا يجب أن تكون $z = X$ للحصول على القيمة القصوى.
- للتعبير $x + y^2$، نفس المبدأ، كلما زادت قيمة $y$، زادت قيمة التعبير، لذا يجب أن تكون $y = X$ للحصول على القيمة القصوى.
لذا، يكون القيمة القصوى للتعبير هي $X + X^3$.
الآن، وفقًا للشرط $x + y + z = X$، نستنتج أن $X$ هي الجواب المطلوب للمسألة.
باختصار، القيمة المطلوبة للمتغير $X$ هي القيمة التي تحقق القيمة القصوى للتعبير $x + y^2 + z^3$، والتي تساوي 1.
المزيد من المعلومات
لحل المسألة المعطاة، نستخدم مبدأ الحد الأقصى (Maximization Principle) ونقوم بتطبيقه مع استخدام قوانين الرياضيات الأساسية، مثل قانون الجمع والضرب وقوانين الأسس.
المسألة تتطلب إيجاد قيمة $X$ بحيث يتحقق أقصى قيمة للتعبير $x + y^2 + z^3$ عند الشروط المعطاة: $x + y + z = X$ و$x$ و$y$ و$z$ عدم السلبية.
نبدأ بتحديد الشروط المعطاة:
- $x + y + z = X$ هي الشرط الأساسي للمجموع الكلي للمتغيرات.
- $x$ و$y$ و$z$ يجب أن تكون غير سالبة.
نستخدم مبدأ الحد الأقصى للعثور على أكبر قيمة ممكنة للتعبير المعطى $x + y^2 + z^3$.
نقوم بتحليل الحالات المختلفة للتعبير:
- عندما نحصل على $x + z^3$، نرى أن زيادة قيمة $z$ ستزيد من القيمة النهائية.
- عندما نحصل على $x + y^2$، نرى أن زيادة قيمة $y$ ستزيد من القيمة النهائية.
لكن بما أن المتغيرات $x$ و$y$ و$z$ تساهم في تحقيق الحد الأقصى، فإنه يجب أن نوجه التركيز إلى كيفية تحقيق التوازن بين هذه المتغيرات.
نرى أن استخدام قيم كبيرة لـ $y$ أو $z$ سيؤدي إلى زيادة القيمة الإجمالية. لذلك، نفترض أن أحد الأعداد يساوي صفر لتحقيق أقصى قيمة ممكنة.
لتحديد قيمة $X$، نضع في اعتبارنا الحالتين التاليتين:
- عندما $y = 0$، نحصل على $x + z^3$.
- عندما $z = 0$، نحصل على $x + y^2$.
من خلال هذا التحليل، نستنتج أنه يجب توزيع قيمة $X$ بين $x$ و$y$ و$z$ بطريقة تضمن الحصول على القيم القصوى للتعبيرات المذكورة أعلاه.
بالنظر إلى الشروط والتحليل المذكورين، نحصل على القيمة المطلوبة لـ $X$ التي تحقق الحد الأقصى للتعبير المعطى والتي تساوي 1.
القوانين المستخدمة تتضمن:
- قوانين الجمع والضرب في العمليات الرياضية الأساسية.
- استخدام مبدأ الحد الأقصى لتحديد القيمة القصوى للتعبير.
- استخدام الشروط المعطاة في المسألة لتحديد المتغيرات والقيم.
هذا هو الحل الشامل للمسألة، حيث تم تطبيق المفاهيم الرياضية الأساسية مع تحليل دقيق للشروط والتعبيرات المعطاة.