حل مسألة الحد الأدنى للتعبير الرياضي (مسألة رياضيات)

إذا كانت $x$ و$y$ و$z$ أعداد حقيقية إيجابية بحيث $x + y + z = 1$، فما هو القيمة الدنيا للتعبير التالي:

حل المسألة:

لنحاول حل هذه المسألة باستخدام تقنية التفكير في المتوسط الهندسي أولاً. يُعرف المتوسط الهندسي لمجموعة من الأعداد الحقيقية الإيجابية بأنه الجذر التربيعي لضرب تلك الأعداد. بمعنى آخر، إذا كانت $a$, $b$, و$c$ أعداد حقيقية إيجابية، فإن المتوسط الهندسي لهذه الأعداد يُعرف كالتالي:

نحاول استخدام هذا المفهوم في المسألة. نعلم أننا بحاجة لتقدير النموذج التالي:

وهنا نعلم أيضًا أن المتوسط الهندسي للأعداد $x$, $y$, و$z$ هو $\sqrt[3]{xyz}$.

إذاً، لنحاول إيجاد علاقة بين التعبير الذي نحاول تقديره والمتوسط الهندسي. لدينا:

الآن، باستخدام معادلة الوسط الهندسي، يمكننا تقدير $xyz$ بالتالي:

بما أن $x + y + z = 1$، فإن:

الآن، لنعود إلى التعبير الذي نريد تقديره:

ونعلم أن $xyz \leq \frac{1}{27}$، لذلك:

وبما أن $x + y + z = 1$، نحصل على:

بالتالي، القيمة الدنيا للتعبير $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ هي $3$. يتم تحقيقها عندما تكون $x = y = z = \frac{1}{3}$.

بالطبع، دعني أقدم لك تفاصيل أكثر حول حل المسألة والقوانين المستخدمة.

التحليل والحل:

نحن نبحث عن القيمة الدنيا للتعبير:

عندما يكون $x + y + z = 1$ و$x$ و$y$ و$z$ هي أعداد حقيقية موجبة.

قانون التوزيع:

لنبدأ بتطبيق قانون التوزيع على التعبير:

التقدير باستخدام المتوسط الهندسي:

نحن بحاجة إلى تقدير $xyz$. وفقًا لقانون المتوسط الهندسي:

مع $x + y + z = 1$، فإن:

تطبيق التقدير:

الآن، نعود إلى التعبير:

نحن نعلم أن $xyz \leq \frac{1}{27}$، لذلك:

استخدام الشروط المعطاة:

باستخدام الشرط المعطى $x + y + z = 1$، نجد أن:

الحد الأدنى:

بالتالي، نجد أن القيمة الدنيا للتعبير $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ هي $3$. يتم تحقيق هذه القيمة عندما تكون $x = y = z = \frac{1}{3}$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون التوزيع.
2. قانون المتوسط الهندسي.
3. استخدام الشروط المعطاة للمسألة.

بهذه الطريقة، نستنتج القيمة الدنيا للتعبير المعطى بالمسألة وهي $3$.