حل مسألة: الحد الأدنى لتعبير الأعداد الموجبة (مسألة رياضيات)

إذا كانت $a،$ $b،$ $c،$ $d،$ $e،$ $f$ أعداد حقيقية موجبة و $a + b + c + d + e + f = 7$، فما هي القيمة الدنيا للتالية:

لحل هذه المسألة، دعنا نستخدم فكرة الأساس في العلاقات الرياضية، ونحاول تحويل المعطيات لصيغة يمكننا من خلالها استخدام تقنيات الحساب للوصول إلى الحل.

نلاحظ أننا نريد تحقيق الحد الأدنى للتعبير المعطى. لذا، نعرف أن الأعداد المستخدمة هي أعداد حقيقية موجبة، وبما أننا نبحث عن الحد الأدنى، فإن القيم الصفرية أو السالبة لا تلائمنا هنا.

لتطبيق مبدأ أساسي في الرياضيات، فإننا نعرف أن عندما نريد تحديد أدنى قيمة لمجموع لتعابير، فإنه من المفيد تحديد القيم الكبيرة للمقامات والقيم الصغيرة للمقسومات. هذا يعود للخواص الرياضية للعلاقات بين الأعداد.

بما أن لدينا العلاقة $a + b + c + d + e + f = 7$، فإننا نريد تحديد الأعداد التي ستعطي لنا القيم الأصغر للتعبير المطلوب.

في هذه الحالة، يبدو منطقيًا أن نعطي الأعداد الأصغر قيمًا صغيرة نسبيًا والأعداد الأكبر قيمًا كبيرة نسبيًا. لذا، نقوم بتعيين الأعداد بالشكل التالي:

الآن، نقوم بحساب قيمة التعبير:

لذا، القيمة الدنيا للتعبير هي $73$ عندما تكون $a = b = c = d = e = 1$ و $f = 2$.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم الدوال الأسية المتبادلة (Reciprocal Functions) مع فكرة تحديد الحد الأدنى لمجموع تعابير.

في البداية، لدينا العلاقة التالية:

ونريد العثور على القيم التي تعطي أدنى قيمة للتعبير:

لحساب القيم الأدنى، نعتمد على مبدأ مهم في الرياضيات يقول إنه عندما نريد تحديد الحد الأدنى لمجموع تعابير، فإنه من المفيد تحديد القيم الكبيرة للمقامات والقيم الصغيرة للمقسومات.

بما أننا ملزمون بالعدد الثابت لمجموع الأعداد الستة، والذي يساوي 7، فإن الخطوة الأولى هي تخيل توزيع هذا العدد على الأعداد $a،$ $b،$ $c،$ $d،$ $e،$ $f$ بطريقة تجعل قيم التعبير تكون أدنى قيمة ممكنة.

هنا نختار القيم الأصغر للمقسومات والقيم الأكبر للمقامات. وبما أن الأعداد هي موجبة، فلا يمكن أن تكون أصغر من الواحد.

بالتالي، نختار:

بعد ذلك، نقوم بحساب قيمة التعبير باستخدام هذه القيم:

إذاً، القيمة الدنيا للتعبير هي $73$ عندما تكون $a = b = c = d = e = 1$ و $f = 2$.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. مفهوم الدوال الأسية المتبادلة.
2. مبدأ تحديد القيم الكبيرة للمقامات والقيم الصغيرة للمقسومات لتحقيق الحد الأدنى للتعبير.
3. تطبيق القيم الموجودة في المعطيات لحل المسألة بالطريقة الأمثل.