حل مسألة الحاصل الضربي الأقصى (مسألة رياضيات)

إذا كانت مجموع عددين ما يساوي 1998، فما هو أكبر حاصل ضرب يمكن الحصول عليه من تلك الأعداد؟

لنقم بتعريف العددين، فلنسمي العدد الأول $x$ والعدد الثاني $y$. ونعلم أن $x + y = 1998$.

الآن، نريد أن نحسب الحاصل الضربي $xy$، والذي يمثل أكبر حاصل ضرب يمكن الحصول عليه.

للعثور على القيمة الأمثل للحاصل الضربي، نحاول تفريغ الدالة. لنفترض أن $x$ هو العدد الأصغر و $y$ هو العدد الأكبر.

نستطيع كتابة $x$ بالشكل التالي: $x = 1998 – y$، ثم نضع هذا القيمة في العملية الضربية.

الآن نحصل على الحاصل الضربي على النحو التالي:

$xy = x(1998 – x)$

الآن يجب أن نبحث عن القيمة التي تجعل هذا الحاصل الضربي أكبر ما يمكن.

لحل المعادلة، نستخدم الجبر لتحديد النقطة الفجوة التي تجعل الدالة تأخذ أقصى قيمة.

أولاً، نكتب الدالة بشكل موسع:

$xy = 1998x – x^2$

الآن، نقوم بإيجاد مشتقة الدالة الجزئية $xy$ بالنسبة لـ $x$ ونضعها تساويًا لصفر للعثور على أقصى أو أدنى قيمة:

$\frac{d(xy)}{dx} = 1998 – 2x = 0$

من هنا، نجد أن $x = 999$ هي القيمة التي تجعل المشتقة تساوي الصفر، وبالتالي تمثل نقطة التألق.

الآن نحدد قيمة $y$ بواسطة إعادة استخدام المعادلة الأصلية:

$y = 1998 – 999 = 999$

لذا، الأعداد التي تعطي أكبر حاصل ضرب هي 999 و 999.

الآن، يمكننا حساب الحاصل الضربي:

$xy = 999 \times 999 = 998001$

لذا، الحاصل الضربي الأكبر الممكن هو 998001.

بالطبع، سأقدم لك تفاصيل أكثر وأوضح لحل المسألة بالإضافة إلى القوانين والمفاهيم الرياضية المستخدمة في الحل.

لنبدأ بتحديد الأعداد. نفترض أن العدد الأول هو $x$ والعدد الثاني هو $y$، ويُطلق عليهما اسم “الأجزاء” في الحل. نعلم أن مجموع الأعداد هو 1998، لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$x + y = 1998$

الآن نريد أن نحسب الحاصل الضربي $xy$، والذي يُمثل الهدف من المسألة وهو إيجاد أكبر حاصل ضرب. لحساب الحاصل الضربي، نقوم بضرب العددين $x$ و $y$ معًا.

للعثور على الحل الأمثل، يمكننا استخدام قانون الضرب والجبر. بما أن الحاصل الضربي $xy$ هو دالة من $x$، فإن الهدف هو العثور على القيمة التي تجعل هذه الدالة تأخذ أقصى قيمة.

سنقوم بإيجاد المشتقة الأولى للدالة $xy$ بالنسبة لـ $x$، ونجعلها تساوي صفر للعثور على النقطة الفجوة (النقطة التي تمثل أقصى قيمة للدالة). يمكننا استخدام هذه القاعدة الرياضية لحساب المشتقة:

$\frac{d(xy)}{dx} = 0$

ثم، نقوم بحل المعادلة الناتجة للعثور على القيمة المثلى لـ $x$، وبالتالي العثور على القيمة المثلى لـ $y$ باستخدام المعادلة الأصلية.

في هذا الحال، تمثل قوانين الجبر والضرب والمشتقة الأولى الأدوات الرئيسية في حل المسألة. باستخدام هذه الأدوات، نحدد النقطة التي تجعل الحاصل الضربي يأخذ أقصى قيمة.

باختصار، نستخدم الجبر وقوانين الضرب لتحديد النقطة التي يكون فيها الحاصل الضربي أقصى قيمة، ومن ثم نحسب الأعداد التي تحقق هذا الحد الأقصى للحصول على الإجابة النهائية.