حل مسألة: الجيب في المثلث القائم (مسألة رياضيات)

نحن هنا نواجه مسألة في الهندسة الهندسة الأساسية حيث أننا معطين قيمة لدالة الجيب (cosine) ونحتاج إلى حساب طول أحد الأضلاع في مثلث. المثلث الذي ندرسه يتألف من ثلاث نقاط: $P$، $Q$، و $R$.

من الشروط المعطاة في المسألة، نعرف أن $\cos Q = 0.4$ ونريد حساب الطول $QR$.

لحل هذه المسألة، دعونا نستخدم المعرفة التي نملكها حول دوال الجيب في المثلثات. في المثلثات القائمة، نعلم أن الجيب لزاوية القائمة يُعرف على أنه النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية وطول الوتر (الضلع المقابل للزاوية). بالتالي، نستطيع كتابة العلاقة التالية:

$\cos Q = \frac{{\text{الضلع المجاور لزاوية } Q}}{{\text{الوتر}}}.$

ومن المعروف أيضًا أن الوتر في المثلث القائم يعتبر الضلع الأطول، الذي يقع مقابل الزاوية القائمة. في حالتنا، الوتر هو الضلع $PR$.

الآن، بما أننا نعرف $\cos Q = 0.4$، ونريد حساب الضلع $QR$، فلنقم بإعادة ترتيب العلاقة:

$\text{الضلع المجاور لزاوية } Q = \cos Q \times \text{الوتر}.$

نستخدم القيم المعطاة: $\cos Q = 0.4$ والوتر $PR = 12$، لذا:

$\text{الضلع المجاور لزاوية } Q = 0.4 \times 12 = 4.8.$

إذاً، الطول $QR$ يساوي $4.8$ وحدة.

بهذا الشكل، نكون قد حللنا المسألة بنجاح باستخدام معرفتنا بالدوال المثلثية وعلاقات الأضلاع في المثلث القائم.

في هذه المسألة، نواجه مثلثًا قائم الزاوية يتألف من ثلاث نقاط: $P$، $Q$، و $R$. القوانين والمفاهيم المستخدمة تشمل:

1. قانون الجيب (الكوساين): في المثلث القائم الزاوية، الجيب لزاوية معينة يُعرف على أنه النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية وطول الوتر (الضلع المقابل للزاوية).
   $\cos \theta = \frac{{\text{الضلع المجاور للزاوية}}}{{\text{الوتر}}}$

2. قانون الجيب (العكسية): يتيح لنا حساب زاوية معينة إذا كنا نعرف الجيب المعاكس لها. في هذه المسألة، نحن نعرف $\cos Q$، لذا يمكننا حساب $\angle Q$ باستخدام دالة الجيب العكسية (الجيب المعكوس).

الآن، لنقوم بتطبيق هذه القوانين في حل المسألة:

1. نعرف أن $\cos Q = 0.4$. هذا يعني أن النسبة بين الضلع المجاور لزاوية $Q$ والوتر (الضلع المقابل لها) تساوي $0.4$.

2. الوتر في هذا المثلث هو الضلع $PR$، والذي يُعطى في المسألة كـ$12$.

3. نستخدم قانون الجيب لحساب الضلع المجاور للزاوية $Q$، والذي هو الضلع $QR$، ويكون التمثيل الرياضي له على النحو التالي:
   $\text{الضلع المجاور لزاوية } Q = \cos Q \times \text{الوتر}.$

4. نستخدم القيم المعطاة: $\cos Q = 0.4$ والوتر $PR = 12$، لحساب الضلع $QR$:
   $QR = \cos Q \times PR = 0.4 \times 12 = 4.8.$

باستخدام هذه الخطوات، نحصل على أن طول الضلع $QR$ يساوي $4.8$ وحدة.

هذه العملية تعتمد على فهم العلاقات الهندسية في المثلثات القائمة واستخدام الجيب والجيب المعكوس لحل المسألة.