حل مسألة الجوارب بالاحتمالات

هناك 7 أزواج من الجوارب، ويتم ارتداء 2 جوارب بحيث لا تكون الجوارب المرتدين من نفس الزوج. ما هو عدد الأزواج التي يمكن تكوينها؟

لحل هذه المسألة، دعونا نفكر في الطرق المختلفة التي يمكن بها ارتداء الجوارب. إذا كان هناك 7 أزواج، فإن هناك 14 جوربًا بشكل إجمالي (7 أزواج × 2 جورب/زوج). عندما يتم ارتداء الجوربين الأولين، يبقى لدينا 12 جوربًا.

الآن، عند ارتداء الجورب الثالث، هناك 11 جوربًا متبقيًا للاختيار من بينها. وعند ارتداء الجورب الرابع، يتبقى 10 جوارب. وهكذا تتابع العملية.

عدد الطرق التي يمكن بها ارتداء الجوارب بحيث تكون الزوجين غير متطابقين هو ناتج حاصل القسمة للعمليات التالية:
$12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6.$

الآن، سنقوم بحساب هذا الناتج للوصول إلى الإجابة.

نقوم بحساب الناتج:

$12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 665,280.$

إذاً، هناك 665,280 طريقة مختلفة يمكن بها ارتداء الجوارب بحيث تكون الزوجين غير متطابقين.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الاحتمالات، حيث يرتبط الحل بترتيب واختيار الجوارب. سنستخدم قانون الضرب لحساب عدد الطرق الممكنة.

لنبدأ بتحديد عدد الجوارب المتاحة في البداية. هناك 7 أزواج من الجوارب، وكل زوج يحتوي على جوربين. لذا، إجمالاً هناك $7 \times 2 = 14$ جوربًا.

الخطوة الأولى هي ارتداء جوربين. يمكن اختيار أي جوربين من بين ال 14 جوربًا بـ $14 \times 13$ طريقة.

الآن، بعد أن تم ارتداء الجوربين الأولين، تبقى 12 جوربًا. الخطوة الثانية هي ارتداء جورب آخر، ويمكن اختياره من بين ال 12 جوربًا المتبقية بـ $12 \times 11$ طريقة.

وهكذا تستمر العملية. في كل خطوة، يتم ارتداء جورب جديد، ويبقى عدد الجوارب المتاحة ينخفض بواحد. يمكن تكرار هذه العملية لمرة أخرى ومرة أخرى حتى يتم ارتداء 7 جوارب.

باختصار، عدد الطرق الممكنة لارتداء الجوارب بحيث تكون الزوجين غير متطابقين يتم بواسطة قانون الضرب كما يلي:

$14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6.$

هذا يعكس الفكرة التي تمثلها قوانين الاحتمالات وقوانين الضرب في حل مشكلة معينة.