حل مسألة الجري الدائري: طول المسار المستدير (مسألة رياضيات)

بما أننا نعلم أن بريندا وسالي يجتمعان للمرة الأولى بعدما تقطع بريندا 50 مترًا، ويلتقيان للمرة الثانية بعدما تقطع سالي 150 مترًا من نقطة اللقاء الأولى، وأن كل فتاة تجري بسرعة ثابتة، فإن السرعة يمكننا تعبيرها بالنسبة للمسافة.

لنمثل طول المسار بـ $d$ مترًا، وسرعة بريندا بـ $v_1$ متر/ثانية وسرعة سالي بـ $v_2$ متر/ثانية. بما أن اللقاء الأول حدث بعد 50 مترًا، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

"Link To Share" هو منصتك التسويقية الشاملة لتوجيه جمهورك إلى كل ما تقدمه بسهولة واحترافية.

• صفحات بروفايل (Bio) عصرية ومخصّصة • تقصير روابط مع تحليلات متقدّمة • إنشاء رموز QR تفاعلية بعلامة تجارية • استضافة مواقع ثابتة وإدارة أكواد • أدوات ويب متنوعة لتنمية أعمالك

ابدأ الآن وارتقِ بمشاريعك!

$50 = (v_1 + v_2) \times t_1$

حيث $t_1$ هو الزمن الذي استغرقه اللقاء الأول.

ثم بعد ذلك يلتقيان للمرة الثانية بعد أن تقطع سالي 150 مترًا. يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$150 = (v_1 + v_2) \times t_2$

حيث $t_2$ هو الزمن الذي استغرقه اللقاء الثاني.

الآن، لدينا معادلتين بمتغيرين وهما $t_1$ و $t_2$، ولكن لدينا أيضًا علاقة بينهما. بما أنهما اجتمعا للمرة الأولى في نقطة معينة على المسار واللقاء الثاني حدث بعد لحاق سالي ببريندا 150 مترًا، يمكننا كتابة:

$t_2 = t_1 – \frac{150}{v_2}$

الآن، نستطيع حل هذه المعادلات للعثور على قيم $t_1$ و $t_2$ ومن ثم حساب طول المسار $d$ باستخدام أي من المعادلات السابقة.

لحل هذه المسألة، سنقوم بالترتيب وحل المعادلات الفيزيائية المتعلقة بالحركة الدائرية. سنستخدم القانون الزمني والقانون المسافي لحركة الجسم الدائرية.

أولاً، سنستخدم قانون المسافة لحركة الجسم الدائرية، الذي يعبر عن العلاقة بين المسافة $d$ وزاوية الدوران $\theta$ كالتالي:

$d = r \times \theta$

حيث $r$ هو شعاع الدائرة. في هذه المسألة، نعلم أن بريندا وسالي اجتمعتا لأول مرة بعد أن قطعت بريندا 50 مترًا. إذا كانت الدائرة كاملة (الزاوية 360 درجة) يمكننا استخدام هذه المعلومة لحساب طول المسار $d$:

$50 = r \times 360$

ثم، سنستخدم قانون السرعة المتوسطة لحركة الجسم الدائرية، والذي يعبر عن العلاقة بين المسافة $d$ والسرعة المتوسطة $v$ والزمن $t$ كالتالي:

$d = v \times t$

سنستخدم هذا القانون لحساب الزمن الذي استغرقه اللقاء الأول ($t_1$) بناءً على معلومة أنه جرى لقاء بعد أن قطعت بريندا 50 مترًا:

$50 = (v_1 + v_2) \times t_1$

ثم، سنستخدم نفس القانون لحساب الزمن الذي استغرقه اللقاء الثاني ($t_2$) بناءً على معلومة أنه جرى لقاء بعد أن قطعت سالي 150 مترًا:

$150 = (v_1 + v_2) \times t_2$

وأخيرًا، سنستخدم العلاقة بين $t_1$ و $t_2$ بناءً على حقيقة أن اللقاء الثاني حدث بعد أن قطعت سالي 150 مترًا من بريندا:

$t_2 = t_1 – \frac{150}{v_2}$

القوانين المستخدمة:

1. قانون المسافة لحركة الجسم الدائرية: $d = r \times \theta$
2. قانون السرعة المتوسطة لحركة الجسم الدائرية: $d = v \times t$

بعد حل هذه المعادلات، سيكون بإمكاننا حساب قيم $t_1$ و $t_2$ ومن ثم استخدام أي من المعادلات لحساب طول المسار $d$.