حل مسألة: الجذور والضرب في الرياضيات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: “إيجاد حاصل ضرب جميع قيم $t$ التي تحقق المعادلة $t^2 = X$ عندما يكون الناتج -36. ما قيمة المتغير المجهول X؟”

لنبدأ بحل المسألة:

نعلم أنه إذا كانت $t^2 = X$ ونريد حاصل ضرب جميع القيم التي تحقق هذه المعادلة ونعلم أن الناتج هو -36، فإننا نبحث عن حلول المعادلة $t^2 = -36$.

لحل هذه المعادلة، نستخدم الخاصية الجبرية التي تقول: “إذا كانت $a^2 = b$، فإما أن يكون $a = \sqrt{b}$ أو $a = -\sqrt{b}$.”

هنا، $b = -36$، لذا يمكننا كتابة المعادلة كالتالي: $t = \sqrt{-36}$ أو $t = -\sqrt{-36}$.

لحساب القيم الممكنة لـ $t$، نحتاج إلى معرفة قيمة $\sqrt{-36}$.

نعلم أن $\sqrt{-1} = i$ حيث $i$ هو الوحدة الخيالية، لذا $\sqrt{-36} = \sqrt{36} \times \sqrt{-1} = 6i$.

إذا، للقيمة الإيجابية: $t = 6i$ وللقيمة السالبة: $t = -6i$.

بالتالي، القيمة المجهولة $X$ هي القيمة التي يساوي حاصل ضرب القيمتين: $X = (6i) \times (-6i) = -36i^2$.

ونعلم أن $i^2 = -1$، إذا $X = -36 \times (-1) = 36$.

إذا، قيمة المتغير المجهولة $X$ هي 36.

لحل المسألة وإيجاد قيمة المتغير المجهولة $X$، دعنا نستعرض الخطوات بتفصيل أكبر مع ذكر القوانين والمفاهيم الرياضية المستخدمة:

1. المعادلة الأساسية: $t^2 = X$.

2. الهدف: إيجاد حاصل ضرب جميع القيم $t$ التي تحقق المعادلة $t^2 = X$ عندما يكون الناتج -36.

3. للوصول إلى الحل، نبحث عن القيم التي تجعل $t^2 = -36$.

4. قانون الجبر: لحل المعادلة $t^2 = -36$، نستخدم خاصية الجذور المربعة والتي تقول إذا كانت $a^2 = b$، فإما أن يكون $a = \sqrt{b}$ أو $a = -\sqrt{b}$.

5. بما أن $b = -36$، فإما $t = \sqrt{-36}$ أو $t = -\sqrt{-36}$.

6. قانون الجذور: نعلم أن $\sqrt{-1} = i$ حيث $i$ هو الوحدة الخيالية. لذا $\sqrt{-36} = \sqrt{36} \times \sqrt{-1} = 6i$.

7. بالتالي، للقيمة الإيجابية: $t = 6i$ وللقيمة السالبة: $t = -6i$.

8. حساب القيمة المجهولة $X$: نستخدم خاصية الضرب، حيث $X = t_1 \times t_2$، حيث $t_1$ و $t_2$ هما القيمتان الممكنتان لـ $t$.

9. نعلم أن $i^2 = -1$، لذا $X = -36i^2$.

10. بتطبيق الضرب: $X = (-6i) \times (6i) = -36i^2$.

11. بمراعاة أن $i^2 = -1$، نحصل على $X = -36 \times (-1) = 36$.

بهذا، نكون قد استخدمنا العديد من قوانين الجبر مثل خاصية الجذور، وخاصية الضرب، ومفهوم الأعداد الخيالية لحل المسألة والوصول إلى الإجابة النهائية.