حل مسألة الجذر التربيعي: قيمة X وعدد القيم الممكنة (مسألة رياضيات)

الجذر التربيعي للعبارة $2x$ أكبر من 3 وأصغر من $X$. كم عدد القيم الصحيحة لـ $x$ التي تتوافق مع هذا الشرط؟
إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 3، ما هو قيمة المتغير $X$ الغير معلوم؟

لنبدأ بتحليل الشرط المعطى:
$3 < \sqrt{2x} < X$

لحل هذه المسألة، يجب أولاً فهم الشرط المطلوب، وهو أن الجذر التربيعي للعبارة $2x$ يجب أن يكون أكبر من 3 وأصغر من $X$. لنواجه هذا الشرط بخطوات:

1. التحليل الأولي: الشرط يقول إن الجذر التربيعي لـ $2x$ يجب أن يكون أكبر من 3، لذا يجب أن نكتب هذا الشرط بالصورة التالية:
   $\sqrt{2x} > 3$

2. التحليل الثاني: الشرط يقول أيضاً إن الجذر التربيعي لـ $2x$ يجب أن يكون أصغر من $X$، لذا يجب أن نكتب هذا الشرط بالصورة التالية:
   $\sqrt{2x} < X$

3. دمج الشروط: ندمج الشرطين لنجد الشروط التي يجب أن تتوافق معها القيمة:
   $3 < \sqrt{2x} < X$

الآن، نحن بحاجة إلى معرفة كم عدد الأعداد الصحيحة لـ $x$ التي تتوافق مع هذا الشرط.

الآن، لنجد القيمة الممكنة لـ $X$ التي تتوافق مع هذا الشرط. نعلم أن الإجابة على السؤال الأول هي 3، لذا يمكننا استخدام هذه المعلومة لحساب قيمة $X$.

لنحل السؤال:

1. نبدأ بالشرط الأول: $\sqrt{2x} > 3$
   نربع الجانبين: $2x > 9$
   نقسم على 2: $x > \frac{9}{2} = 4.5$

2. الآن نحل الشرط الثاني: $\sqrt{2x} < X$
   نقوم برفع الجانبين للتربيع: $2x < X^2$
   نقسم على 2: $x < \frac{X^2}{2}$

3. الشرط المتوافق: $\frac{9}{2} < x < \frac{X^2}{2}$

الآن، نحن بحاجة إلى البحث عن الأعداد الصحيحة التي تتوافق مع هذا الشرط.

إذا كانت الإجابة على السؤال الأول هي 3، فإن هناك 3 قيم صحيحة لـ $x$ تتوافق مع هذا الشرط.

لحساب قيمة $X$، نجمع 1 إلى القيمة العليا لـ $x$ لأن هذه القيمة تشكل حدود الشرط:
$\frac{X^2}{2} = 4 + 1 = 5$
$X^2 = 2 \times 5 = 10$
$X = \sqrt{10}$

بالتالي، القيمة المجهولة $X$ هي الجذر التربيعي للعدد 10.

لحل المسألة وتحديد قيمة المتغير $X$ وعدد القيم الصحيحة لـ $x$ التي تتوافق مع الشرط المعطى، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والخطوات الرياضية. سنقوم بتفصيل الخطوات والقوانين المستخدمة في الحل:

1. تحليل الشرط المعطى:
   الشرط المعطى يقول إن الجذر التربيعي للعبارة $2x$ يجب أن يكون أكبر من 3 وأصغر من $X$، لذا يمكننا كتابة الشرط بالصورة التالية:
   $3 < \sqrt{2x} < X$

2. استخدام قوانين الجبر:

   • قانون استبعاد الجذور: يمكننا رفع كلا الجانبين للتربيع دون تأثير على العدمية.
   • قانون الأمثل: ينص على أنه إذا كانت $a < b$ و $b < c$ فإن $a < c$.

3. حل المعادلات الجبرية:

   • نحتاج لحل المعادلة $\sqrt{2x} > 3$ واستنتاج القيم الممكنة لـ $x$.
   • كما نحتاج لحل المعادلة $\sqrt{2x} < X$ واستنتاج القيم الممكنة لـ $x$.

4. تحديد العدد الصحيح لـ $x$:

   • بمجرد حساب القيم الممكنة لـ $x$ من كل معادلة، سنحتاج إلى تحديد الأعداد الصحيحة التي تتوافق مع الشرط.

5. تحديد قيمة $X$:

   • بعد تحديد العدد الصحيح لـ $x$، سنحتاج إلى معرفة القيمة الممكنة لـ $X$ التي تتوافق مع الشرط المعطى.

6. التحقق من الإجابة:

   • في النهاية، يجب التحقق من الحل لضمان أنه يتوافق مع شروط المسألة والقوانين الرياضية.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، يمكننا حل المسألة بدقة وتحديد القيم المطلوبة لـ $X$ وعدد القيم الصحيحة لـ $x$ التي تتوافق مع الشرط المعطى في المسألة.