حل مسألة الجبر: مجموع الأعداد والمعادلات (مسألة رياضيات)

إذا كان مجموع مربعات الأعداد الحقيقية غير السالبة $a$، $b$، و $c$ هو $X$، وكان $ab + bc + ca = 21$، فما هو مجموع $a$، $b$، و $c$؟
إذا كان الجواب على السؤال السابق هو 9، فما هي قيمة المتغير المجهول $X$؟

لنبدأ بحل المسألة:
من المعطيات نعرف أن:
$a^2 + b^2 + c^2 = X$
و
$ab + bc + ca = 21$

الآن، سنستخدم معادلة فييتا لحل المسألة. المعادلة فييتا هي عبارة عن معادلة خاصة في الجبر تمكننا من حساب الجذور للمعادلات من الدرجة الثانية عندما نعرف مجموع الجذور ومجموع حاصل الضرب لها.

لنبدأ بملاحظة أن:
$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$

ومن المعطيات المعلومة في المسألة، نعلم أن $a^2 + b^2 + c^2 = X$ و $ab + bc + ca = 21$، لذلك يمكننا استبدالهم في المعادلة السابقة لنحصل على:
$(a + b + c)^2 = X + 2(21)$
$(a + b + c)^2 = X + 42$

إذاً، لو أردنا حساب مجموع $a$، $b$، و $c$، فإننا بحاجة إلى حل المعادلة التي حصلنا عليها. ولكن ما نعرفه بالفعل هو أن مجموع $a$، $b$، و $c$ هو 9، لذلك يمكننا كتابة المعادلة التالية:
$(a + b + c)^2 = 9^2 = 81$

مقارنة بين المعادلتين، نجد أن:
$X + 42 = 81$
إذاً،
$X = 81 – 42 = 39$

لذا، القيمة المطلوبة للمتغير $X$ هي 39.

لحل المسألة المعطاة، سنستخدم مجموعة من الخطوات والقوانين الجبرية. دعني أوضح الخطوات بالتفصيل وأذكر القوانين المستخدمة:

1. معرفة المعطيات: نعطى في المسألة مجموع مربعات الأعداد $a$، $b$، و $c$ ونعرف أن $ab + bc + ca = 21$.

2. استخدام معادلة فييتا: هذه المعادلة تمكننا من حساب مجموع الأعداد عندما نعرف مجموع الجذور ومجموع حاصل الضرب لها. المعادلة هي $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$

3. تطبيق المعادلة فييتا على المعطيات: نستخدم معادلة فييتا باستبدال المعطيات المعروفة فيها. لدينا $a^2 + b^2 + c^2 = X$ و $ab + bc + ca = 21$، لذلك نحصل على $(a + b + c)^2 = X + 2(21)$
   حيث استخدمنا $X$ لتمثيل مجموع مربعات $a$، $b$، و $c$.

4. حل المعادلة للعثور على $X$: لدينا معادلة $(a + b + c)^2 = X + 42$، ونعلم أن مجموع $a$، $b$، و $c$ هو 9، لذلك نستخدم هذه المعلومة لحساب $X$. نحصل على:
   $9^2 = X + 42$
   $81 = X + 42$
   $X = 81 – 42 = 39$

بهذا نصل إلى القيمة المطلوبة للمتغير $X$ التي هي 39.

القوانين المستخدمة:

• معادلة فييتا: هذه المعادلة تستخدم لحساب مجموع الأعداد عندما نعرف مجموع الجذور ومجموع حاصل الضرب لها.
• خاصية توزيع العدد على حاصل ضربه بعد الرفع إلى الأس: هذه الخاصية تستخدم في تحويل $(a + b + c)^2$.
• القواعد الأساسية للجبر: تستخدم قواعد الجبر الأساسية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة في حل المعادلات والتعامل مع المتغيرات والتعبيرات الجبرية.