حل مسألة الجبر: متوسط الفصل بعد الاختبار (مسألة رياضيات)

في فصل الجبر للسيدة مارش، اختبر 30 من أصل 36 طالباً الفصل الرابع، وكانت نسبة المتوسط لدرجاتهم X ٪. وفي اليوم التالي، أخذ الستة الطلاب الآخرون الاختبار، وكانت نسبة متوسط درجاتهم 78 ٪. ما هو المتوسط الجديد للفصل؟ اعتبر الإجابة كنسبة. الإجابة هي 73. ما قيمة المتغير المجهول X؟

لنقم بحساب المتوسط الجديد للفصل بعد أن أُخذت درجات الطلاب الستة الباقيين:

المتوسط الجديد = (عدد الطلاب السابقين × متوسط درجاتهم + عدد الطلاب الجدد × متوسط درجاتهم) / عدد الطلاب الكلي

الآن، لدينا:

عدد الطلاب السابقين = 30
متوسط درجات الطلاب السابقين = X٪
عدد الطلاب الجدد = 6
متوسط درجات الطلاب الجدد = 78٪
عدد الطلاب الكلي = 36

إذاً، يمكننا حساب المتوسط الجديد كالتالي:

المتوسط الجديد = (30 × X + 6 × 78) / 36

لكننا نعلم أن المتوسط الجديد يساوي 73٪، لذا يمكننا وضع هذه القيمة في المعادلة وحلها لإيجاد قيمة X.

73 = (30X + 6 × 78) / 36

لحل هذه المعادلة، نقوم بالخطوات التالية:

1. نضرب كلا الطرفين في 36 للتخلص من المقام في الجهة اليمنى:
   73 × 36 = 30X + 6 × 78

2. نقوم بحساب الجهة اليمنى للمعادلة:
   2628 = 30X + 468

3. نطرح 468 من الجهة اليمنى للمعادلة:
   2628 – 468 = 30X

4. نحسب الفرق:
   2160 = 30X

5. للتخلص من الضرب في 30، نقسم الجهة اليمنى على 30:
   X = 2160 / 30

6. نقوم بالحساب:
   X = 72

إذاً، قيمة المتغير المجهول X هي 72٪.

بالطبع، سنقوم الآن بتفصيل أكثر لحل المسألة وذلك باستخدام بعض القوانين الرياضية الأساسية. سنبدأ بتحديد الأطوال المعروفة في المسألة، ثم سنستخدم القوانين الرياضية لحلها.

الأطوال المعروفة:

1. عدد الطلاب الذين اختبروا الفصل الرابع في اليوم الأول = 30 طالباً.
2. متوسط درجات الطلاب في اليوم الأول = X٪.
3. عدد الطلاب الذين اختبروا الفصل الرابع في اليوم الثاني = 6 طلاب.
4. متوسط درجات الطلاب في اليوم الثاني = 78٪.
5. إجمالي عدد الطلاب في الفصل = 36 طالباً.

القوانين المستخدمة:

1. قانون النسبة المئوية: يستخدم لحساب النسبة المئوية باستخدام القيمة والقيمة الأساسية.
2. قانون المتوسط: يستخدم لحساب متوسط مجموعة من الأرقام.

الحل:
أولاً، سنحسب المتوسط الجديد لدرجات الفصل بعد أخذ الاختبار في اليوم الثاني.

1. قمنا بحساب المتوسط الجديد باستخدام القانون التالي:
   $\text{المتوسط الجديد} = \frac{{(\text{عدد الطلاب السابقين} \times \text{متوسط درجات الطلاب السابقين}) + (\text{عدد الطلاب الجدد} \times \text{متوسط درجات الطلاب الجدد})}}{{\text{عدد الطلاب الكلي}}}$

2. بعد ذلك، قمنا بحساب القيمة المجهولة X باستخدام المعادلة المكتوبة:

$73 = \frac{{30X + 6 \times 78}}{{36}}$

3. ومن ثم، قمنا بحل المعادلة بتطبيق العمليات الحسابية المناسبة، مثل الضرب والجمع والطرح والقسمة، للوصول إلى قيمة المتغير المجهول X.

بهذه الطريقة، قد حلنا المسألة ووجدنا أن قيمة المتغير المجهول X تساوي 72٪.