حل مسألة الجبر: قيمة المتغير X (مسألة رياضيات)

إذا كانت $x(x+y) = 27$ و $y(x+y) = X$، فما هو قيمة $(x+y)^2$؟
إذا كنا نعرف أن الإجابة على السؤال السابق هي 81، فما هي قيمة المتغير المجهول X؟

لنبدأ بإعادة صياغة المعادلات بشكل أكثر وضوحًا:

المعادلة الأولى: $x(x+y) = 27$
المعادلة الثانية: $y(x+y) = X$

الآن، دعنا نحل المسألة:
نبدأ بحل المعادلة الأولى:
$x(x+y) = 27$
نستخدم طريقة التعويض لحل المعادلة، حيث نعوض $y$ بما نعرفه من المعادلة الثانية:
$x(x+\frac{X}{y}) = 27$

الآن، لدينا معادلة واحدة ومتغيرين، ولكن لدينا أيضًا معادلة ثانية يمكننا استخدامها لحل المسألة.
نضرب المعادلة الثانية بـ $x$ للتخلص من النسبة:
$xy + y^2 = X$
نستخدم هذه المعادلة للتعويض في المعادلة الأولى:
$x(xy + y^2) = 27$
$xy^2 + x^2y = 27$

الآن، لدينا نظامًا من المعادلات، ونحتاج إلى حله. لكننا بحاجة أيضًا إلى القيمة المعطاة لـ $(x+y)^2$ للتحقق.

نرى أن:
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

ووفقًا للسؤال، يساوي هذا 81. لذا:
$x^2 + 2xy + y^2 = 81$

الآن، لدينا نظامًا من المعادلات:
$x(x+\frac{X}{y}) = 27$
$xy^2 + x^2y = 27$
$x^2 + 2xy + y^2 = 81$

نحل هذا النظام للعثور على قيمة $X$.
لحل المسألة، نحل النظام من ثلاث معادلات باستخدام تقنيات حل المعادلات. يتم ترتيب الحسابات والتبسيط للوصول إلى قيمة $X$ المطلوبة.

لحل المسألة المعطاة، سنقوم بإعادة صياغة العلاقات والتحليل الرياضي بالتفصيل، مع استخدام القوانين الأساسية للجبر.

لنبدأ مع المعادلات المعطاة:

1. $x(x+y) = 27$
2. $y(x+y) = X$

والهدف هو إيجاد قيمة $X$ عندما نعلم أن $(x+y)^2 = 81$.

أولاً، سنستخدم القانون الأساسي للتعويض والتبديل في الجبر، حيث نستبدل قيمة متغير بمتغير آخر في المعادلات للتوصل إلى حل.

للمعادلة الأولى:
$x(x+y) = 27$

سنستخدم المعادلة الثانية للتعويض فيها:
$x\left(x+\frac{X}{y}\right) = 27$

الآن، لدينا معادلة واحدة تحتوي على متغيرين $x$ و $y$ والمتغير المجهول $X$.

بالنظر إلى المعادلة الثانية:
$y(x+y) = X$

يمكننا تعويض الجزء $x+y$ من المعادلة بقيمته في المعادلة الأولى، حيث $(x+y)^2 = 81$، لذا $x+y = 9$ أو $-9$ لأنها تعتمد على القيم الممكنة للجذر التربيعي.

الآن، لدينا نقطة بداية لحساباتنا.

نعوض قيم $x$ و $y$ في المعادلات:
$x(9) = 27 \implies x = 3$
$y(9) = X \implies y = \frac{X}{9}$

والآن، نعوض قيم $x$ و $y$ في المعادلة الثانية:
$3\left(3+\frac{X}{9}\right) = 27$
$3\left(3+\frac{X}{9}\right) = 27$
$3\left(3+\frac{X}{9}\right) = 27$
$9 + \frac{X}{3} = 27$
$X + 3X = 81$
$4X = 81$
$X = \frac{81}{4} = 20.25$

لذا، قيمة المتغير $X$ هي 20.25.

القوانين المستخدمة:

1. قانون التعويض والتبديل في الجبر.
2. قوانين الحساب الجبري الأساسي للجمع والطرح والضرب والقسمة.
3. قوانين التعبيرات المتعلقة بالأسس والتربيعات.

هذه القوانين تمثل الأساس في حل المعادلات الجبرية والتعامل مع المتغيرات في الجبر.