حل مسألة الجبر: قيمة التعبيرات. (مسألة رياضيات)

إذا كان مجموع عددين ما يساوي 10، ومجموع العدد الأول مضاعفًا بعدد آخر ما يساوي 13، فما قيمة الفرق بين مربع العدد الأول ومربع العدد الثاني؟

لنبدأ بحل المعادلتين:
المعادلة الأولى: $x + y = 10$
المعادلة الثانية: $2x + y = 13$

لنقم بحل المعادلات. يمكننا استخدام طريقة الإحلال أو طريقة الجمع والطرح. سنختار طريقة الجمع والطرح لحل المعادلات.

نضرب المعادلة الأولى في 2 لتطابق معامل $x$ مع المعادلة الثانية:
$2(x + y) = 2 \times 10$ ، أو $2x + 2y = 20$

الآن سنقوم بطرح المعادلة الثانية من المعادلة التي حصلنا عليها:
$(2x + y) – (2x + 2y) = 13 – 20$، أو $y – 2y = -7$، وبالتالي $-y = -7$، وبالتالي $y = 7$

الآن سنستخدم قيمة $y$ التي حصلنا عليها في أي من المعادلات للحصول على قيمة $x$. سنختار المعادلة الأولى:
$x + 7 = 10$، وبالتالي $x = 10 – 7 = 3$

الآن لدينا $x = 3$ و $y = 7$.

نحتاج إلى حساب قيمة $x^2 – y^2$ ولذلك يجب حساب مربع كل من $x$ و $y$ ثم طرحهما:
$x^2 = 3^2 = 9$ و $y^2 = 7^2 = 49$

بالتالي، $x^2 – y^2 = 9 – 49 = -40$.

إذاً، قيمة $x^2 – y^2$ هي -40.

لحل المسألة المعطاة، سنستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية الأساسية، وسنقوم بتطبيقها بخطوات واضحة للوصول إلى الحل النهائي.

المعادلات المعطاة هي:

1. $x + y = 10$
2. $2x + y = 13$

الآن، سنقوم بشرح الخطوات التفصيلية لحل المسألة:

الخطوة 1: استخدام القانون الرياضي للجمع والطرح

نبدأ بحل المعادلات باستخدام قانون الجمع والطرح. سنقوم بطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية للتخلص من القيمة $y$:

هذا يؤدي إلى:

الخطوة 2: حساب قيمة $y$

بمعرفة قيمة $x$، يمكننا استخدام أي من المعادلات لحساب قيمة $y$. سنستخدم المعادلة الأولى:

الخطوة 3: حساب قيمة $x^2 – y^2$

الآن، نمتلك قيم $x$ و $y$، وبالتالي يمكننا حساب قيمة $x^2 – y^2$. سنستخدم الصيغة التالية:

نعوض بالقيم المعروفة:

الخطوة 4: الإجابة

إذاً، قيمة $x^2 – y^2$ هي -40.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الجمع والطرح: للتخلص من المجاهيل وحساب القيم.
2. قانون حساب الأعداد: لحساب قيم الأعداد الأساسية.
3. قانون تحويل التعبيرات الجبرية: لتحويل التعابير والتعامل معها بشكل أكثر تبسيطًا.

باستخدام هذه القوانين والخطوات، نستطيع حل المسألة بشكل دقيق ومنطقي.