حل مسألة الجبر الصعبة: قيمة X (مسألة رياضيات)

نريد حساب النسبة التالية:
$\frac{(1 + 17) \left( X + \frac{17}{2} \right) \left( 1 + \frac{17}{3} \right) \dotsm \left( 1 + \frac{17}{19} \right)}{(1 + 19) \left( 1 + \frac{19}{2} \right) \left( 1 + \frac{19}{3} \right) \dotsm \left( 1 + \frac{19}{17} \right)}.$

لكن نعلم أن النسبة تساوي 1. فلنقم بتحليلها بتفصيل:

نراجع العددين 17 و 19، نجد أنهما اثنان من الأعداد الأولية. لذا، يمكننا تجريب الأعداد الأولية القريبة من 1 للبحث عن الحل. لنبدأ:

العدد الأولي 2:
$2 + \frac{17}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$2 + \frac{19}{2} = \frac{21}{2}$
النسبة: $\frac{(1 + 17) \cdot 18 \cdot (1 + \frac{17}{3}) \dotsm (1 + \frac{17}{19})}{(1 + 19) \cdot \frac{21}{2} \cdot (1 + \frac{19}{3}) \dotsm (1 + \frac{19}{17})}$
نرى أن هذه القيمة ليست 1، لذا العدد 2 ليس الحل.

العدد الأولي 3:
$3 + \frac{17}{2} = \frac{23}{2}$
$3 + \frac{19}{2} = \frac{25}{2}$
النسبة: $\frac{(1 + 17) \cdot \frac{23}{2} \cdot (1 + \frac{17}{3}) \dotsm (1 + \frac{17}{19})}{(1 + 19) \cdot \frac{25}{2} \cdot (1 + \frac{19}{3}) \dotsm (1 + \frac{19}{17})}$
هذه القيمة ليست 1، لذا العدد 3 ليس الحل.

العدد الأولي 4:
$4 + \frac{17}{2} = 10$
$4 + \frac{19}{2} = \frac{21}{2}$
النسبة: $\frac{(1 + 17) \cdot 10 \cdot (1 + \frac{17}{3}) \dotsm (1 + \frac{17}{19})}{(1 + 19) \cdot \frac{21}{2} \cdot (1 + \frac{19}{3}) \dotsm (1 + \frac{19}{17})}$
هذه القيمة ليست 1، لذا العدد 4 ليس الحل.

العدد الأولي 5:
$5 + \frac{17}{2} = \frac{27}{2}$
$5 + \frac{19}{2} = \frac{29}{2}$
النسبة: $\frac{(1 + 17) \cdot \frac{27}{2} \cdot (1 + \frac{17}{3}) \dotsm (1 + \frac{17}{19})}{(1 + 19) \cdot \frac{29}{2} \cdot (1 + \frac{19}{3}) \dotsm (1 + \frac{19}{17})}$
هذه القيمة ليست 1، لذا العدد 5 ليس الحل.

نواصل التجريب مع الأعداد الأولية الأكبر. الآن، نجرب العدد الأولي 6:
$6 + \frac{17}{2} = \frac{29}{2}$
$6 + \frac{19}{2} = 10$
النسبة: $\frac{(1 + 17) \cdot \frac{29}{2} \cdot (1 + \frac{17}{3}) \dotsm (1 + \frac{17}{19})}{(1 + 19) \cdot 10 \cdot (1 + \frac{19}{3}) \dotsm (1 + \frac{19}{17})}$

ومن خلال التجريب نجد أن القيمة 1 تتحقق فقط عندما يكون $X = 6$.

وبالتالي، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 6.

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر والحساب.

في هذه المسألة، نحن مطلوبون بحساب قيمة تعبير يتكون من تكرار الضرب والقسمة. القوانين التي سنستخدمها تتضمن:

1. قوانين الجمع والضرب: نحتاج إلى معرفة كيفية تعامل الأعداد والمتغيرات معًا عند الجمع والضرب.

2. قوانين الأعداد الكسرية: يجب علينا التعامل مع الأعداد الكسرية والقوانين المتعلقة بها، مثل طريقة جمعها وضربها.

3. التوزيع والتجميع: يمكننا تطبيق قاعدة التوزيع لتبسيط التعبيرات الكبيرة.

4. إدراك النمط في العوامل المتكررة: نحتاج إلى فهم النمط الذي يظهر في التعبير لنتمكن من تبسيطه.

الآن، دعونا نقوم بتفكيك المسألة:

التعبير الذي نحتاج إلى حسابه هو:

$\frac{(1 + 17) \left( X + \frac{17}{2} \right) \left( 1 + \frac{17}{3} \right) \dotsm \left( 1 + \frac{17}{19} \right)}{(1 + 19) \left( 1 + \frac{19}{2} \right) \left( 1 + \frac{19}{3} \right) \dotsm \left( 1 + \frac{19}{17} \right)}.$

يبدو أن هناك نمطًا في هذا التعبير حيث نضيف 17 أو 19 إلى العدد 1 ثم نقسمه على متغير معين. هذا النمط يسمح لنا بتطبيق قاعدة التوزيع وتبسيط التعبير.

لتحقيق ذلك، سنقوم بتجزئة التعبير إلى عوامله الأصغر ونستخدم قوانين الجبر لتبسيطه.

بعد التبسيط والتحليل، نصل إلى استنتاج أن قيمة المتغير $X$ يجب أن تكون 6 لتجعل النسبة المعطاة تساوي 1.

هذا الحل يعتمد على استخدام القوانين الأساسية للجبر والتفكير الإبداعي في تحليل النماذج والأنماط في التعبيرات الرياضية.