حل مسألة الجبر الخطي: قيمة التعبير. (مسألة رياضيات)

إذا كانت قيمتي $x$ و $y$ تحققان المعادلتين $x + y = 16$ و $x – y = 2$، فما قيمة $x^2 – y^2$؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام تقنية فصل المتغيرات في المعادلات. نبدأ بإيجاد قيمة كل من $x$ و $y$.

من المعادلة الأولى $x + y = 16$، يمكننا حلها للحصول على قيمة $x$ بتبديل $y$ بالفعل:

$x = 16 – y$

الآن، نستخدم المعادلة الثانية $x – y = 2$ لتعويض قيمة $x$ التي حصلنا عليها:

$16 – y – y = 2$

نبسط المعادلة لحساب قيمة $y$:

$16 – 2y = 2$

$2y = 16 – 2$

$2y = 14$

$y = 7$

الآن، بعد أن حصلنا على قيمة $y$، يمكننا استخدامها لحساب قيمة $x$:

$x = 16 – 7 = 9$

الآن، بعدما حصلنا على قيمتي $x$ و $y$، يمكننا حساب $x^2 – y^2$ كالتالي:

$x^2 – y^2 = (9)^2 – (7)^2$

$= 81 – 49$

$= 32$

لذا، قيمة $x^2 – y^2$ هي 32.

لحل المسألة، سنستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية. نبدأ بتفصيل الحل خطوة بخطوة:

1. المعادلات الخطية: المعادلتان المعطيتان هما معادلات خطية، حيث يوجد متغيران $x$ و $y$ في كل منهما.

2. فصل المتغيرات: نحاول الآن التخلص من أحد المتغيرات في المعادلتين لحل المسألة. لذا، نستخدم إما طريقة الإضافة أو الطرح لفصل المتغيرات.

3. الإضافة أو الطرح لفصل المتغيرات: في هذه المسألة، قررنا استخدام الطرح. نطرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى للحصول على قيمة لأحد المتغيرات.

4. التعويض: بمجرد حصولنا على قيمة واحدة لأحد المتغيرات، نقوم بتعويضها في المعادلة الأخرى لحساب القيمة المتبقية.

الآن، نعود إلى المسألة:

المعادلات المعطاة:
$x + y = 16$
$x – y = 2$

نطرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى:
$(x + y) – (x – y) = 16 – 2$
$x + y – x + y = 14$
$2y = 14$
$y = 7$

الآن، بعدما حصلنا على قيمة $y$، يمكننا تعويضها في إحدى المعادلات لحساب قيمة $x$. سنختار المعادلة الثانية:
$x – 7 = 2$
$x = 2 + 7$
$x = 9$

الآن، بعد حساب قيم $x$ و $y$، نستخدمها لحساب قيمة $x^2 – y^2$:
$x^2 – y^2 = (9)^2 – (7)^2$
$= 81 – 49$
$= 32$

لذا، قيمة $x^2 – y^2$ هي 32.

القوانين المستخدمة في الحل تتضمن:

• قانون الجمع والطرح في المعادلات الخطية.
• فصل المتغيرات للعثور على قيم معينة.
• قوانين الحساب الأساسية مثل قوانين الأعداد الكاملة وقوانين الأسس.