حل مسألة: الثنائي المربع والتعابير الرياضية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

العثور على قيمة $a$ بحيث تكون $ax^2 + 12x + 9$ مربعًا لثنائي.

حل المسألة:

نعرف أنه إذا كان $ax^2 + 12x + 9$ مربعًا لثنائي، فإن معامل $x$ في الثنائي يكون جذرًا للمعادلة. بمعنى آخر، يكون المعامل الخطي في الثنائي متساويًا تمامًا لضعف مقدار المعامل الخطي في المربع الناتج. في هذه الحالة، يكون المعامل الخطي في $ax^2$ هو $12x$، لذا يجب أن يكون المعامل الخطي في الثنائي المربع $6$.

لنجد المربع الناتج عن ضرب ثنائي $(x + b)^2$:

$(x + b)^2 = x^2 + 2bx + b^2$

بمقارنة المربع المراد الحصول عليه، الذي هو $ax^2 + 12x + 9$، مع $(x + b)^2$، نلاحظ أن $b^2 = 9$، و $2b = 12$.

من العلاقة الثانية، نجد قيمة $b$:

$2b = 12 \implies b = 6$

الآن، نعرف أن $b^2 = 9$، لذا:

$b^2 = 9 \implies b = \pm 3$

لكننا قد وجدنا سابقًا أن $b = 6$، لذا القيمة المناسبة لثابت $b$ هي $b = 3$.

بالتالي، الثنائي المربع هو $(x + 3)^2$. لتكون $ax^2 + 12x + 9$ مربعًا لثنائي، يجب أن يكون:

$ax^2 + 12x + 9 = (x + 3)^2$

نواجه الآن معادلتين. من المقارنة، يمكننا ملاحظة أن المعامل الثابت في $(x + 3)^2$ هو $9$، لذا:

$a = 1$

إذاً، القيمة المطلوبة لـ $a$ هي $1$.

للتحقق، يمكننا ضرب $(x + 3)^2$ ومقارنته مع $ax^2 + 12x + 9$:

$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

نجد أنها تتطابق مع المعادلة المعطاة، مما يؤكد أن القيمة الصحيحة لـ $a$ هي $1$.

لحل المسألة والوصول إلى القيمة المناسبة لـ $a$، دعونا نقوم بخطوات الحل بالتفصيل مع استخدام بعض القوانين الأساسية في الجبر:

المعادلة المعطاة:
$ax^2 + 12x + 9 = (x + b)^2$

نستخدم القانون الأساسي لتوسيع المربع:

$(x + b)^2 = x^2 + 2bx + b^2$

الآن، نقارن المربع المطلوب مع المربع الذي حصلنا عليه:
$ax^2 + 12x + 9 \stackrel{?}{=} x^2 + 2bx + b^2$

نقوم بمقارنة المعاملات المتطابقة، حيث يجب أن يكون المعامل الخطي في المربع المطلوب هو الضعف من المعامل الخطي في المربع المحسوب:
$2b = 12$

نحل للعثور على قيمة $b$:
$b = 6$

المربع الناتج عن ضرب الثنائي هو:
$(x + b)^2 = (x + 6)^2$

الآن، نستخدم القانون الثاني الذي يقول أن المعامل الثابت في المربع المطلوب يجب أن يكون متساويًا للمعامل الثابت في المربع الناتج:
$b^2 = 9$

نحل للعثور على قيمة $b$:
$b = \pm 3$

لكننا قد وجدنا سابقًا أن $b = 6$، لذا نستبعد $b = -3$ ونستخدم $b = 3$.

الآن، نعيد كتابة المعادلة بعد الحصول على القيم الصحيحة للـ $b$:
$ax^2 + 12x + 9 = (x + 3)^2$

نقارن المعاملات المتطابقة للوصول إلى قيمة $a$:
$a = 1$

إذاً، القيمة المناسبة لـ $a$ هي $1$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون توسيع المربع: $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. المقارنة بين المعاملات: لمعرفة المعاملات المتساوية في معادلتين.
3. استخدام القوانين الجبرية الأساسية لحل المعادلات.

باستخدام هذه القوانين والخطوات المفصلة، تم الوصول إلى القيمة الصحيحة لـ $a$ بطريقة منهجية.