حل مسألة التمثيل الرقمي: البحث عن قيمة X (مسألة رياضيات)

عند تعبير عدد صحيح إيجابي في نظام العد الصحيح X، يكون التمثيل الرقمي له هو $AB_7$، وعند تعبيره في نظام العد الصحيح 5، يكون التمثيل الرقمي $BA_5$. العدد الصحيح الإيجابي في النظام العشري هو 17. ما هي قيمة المتغير المجهول X؟

لحل هذه المسألة، نقوم بتحويل كل تمثيل رقمي إلى النظام العشري. بدايةً، لنقم بتحويل $AB_7$ إلى العشري. الرمز A في نظام العد الصحيح 7 يمثل القيمة 10، والرمز B يمثل القيمة 11. لذا، يمكننا حساب القيمة بالتالي:

$AB_7 = (A \times 7^1) + (B \times 7^0) = (10 \times 7) + (11 \times 1) = 70 + 11 = 81$

الآن، لنقوم بتحويل $BA_5$ إلى العشري. الرمز B في نظام العد الصحيح 5 يمثل القيمة 11، والرمز A يمثل القيمة 10. لذا، يمكننا حساب القيمة بالتالي:

$BA_5 = (B \times 5^1) + (A \times 5^0) = (11 \times 5) + (10 \times 1) = 55 + 10 = 65$

الآن نعلم أن هذا العدد يمثل 17 في النظام العشري. لذا، يمكننا حل المعادلة التالية:

$X = 81 = 65 = 17$

إذًا، قيمة المتغير المجهول X هي 17.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى تحويل التمثيل الرقمي من النظام السباعي والنظام الخماسي إلى النظام العشري. نستخدم القوانين التالية للتحويل:

1. تحويل التمثيل الرقمي إلى النظام العشري:
   يستخدم هذا القانون لحساب القيمة العشرية للتمثيل الرقمي في أي نظام عد ترتيبي. للتمثيل الرقمي $XYZ_n$ في نظام عد ترتيبي n، يمكن حساب القيمة بواسطة الصيغة:
   $XYZ_n = (X \times n^2) + (Y \times n^1) + (Z \times n^0)$

2. قوانين التحويل بين النظم:

   • لتحويل التمثيل السباعي إلى العشري، نحتاج إلى معرفة قيم كل رمز وضربها في الأساس السباعي المرتبط.
   • لتحويل التمثيل الخماسي إلى العشري، نقوم بنفس العملية، حيث نحسب قيمة كل رمز وضربها في الأساس الخماسي المرتبط.

لنقم بتحويل $AB_7$ إلى النظام العشري:
$AB_7 = (A \times 7^1) + (B \times 7^0) = (10 \times 7) + (11 \times 1) = 70 + 11 = 81$

ثم، نقوم بتحويل $BA_5$ إلى النظام العشري:
$BA_5 = (B \times 5^1) + (A \times 5^0) = (11 \times 5) + (10 \times 1) = 55 + 10 = 65$

الآن، نستخدم المعلومة المعطاة في المسألة التي تقول أن العدد الإيجابي في النظام العشري هو 17. لحساب قيمة المتغير المجهول X، نحل المعادلة التالية:
$X = 81 – 65 + 17$

إذًا، نحصل على قيمة المتغير المجهول X، وهي 17.